高中数学平面直角坐标系中的基本公式检测考试题(含答案)
<p>2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 优化训练</p><p>1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于()</p><p>A．5 B．－1</p><p>C．1 D．－5</p><p>解析：选D.由题意知，x＝－3，y＝－2，则x＋y＝－5.</p><p>2．若x轴上的点M到原点及点(5，－3)的距离相等，则M点的坐标是()</p><p>A．(－2,0) B．(1,0)</p><p>C．(1.5,0) D．(3.4,0)</p><p>答案：D</p><p>3．若A(a，－ab)，B(b，ab)，则d(A，B)等于()</p><p>A．|a－b| B．|a＋b|</p><p>C．|a＋b| D．|a－b|</p><p>答案：B</p><p>4．设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(－1,2)，则d(P，Q)＝________.</p><p>答案：25</p><p>5．已知点P到x轴和点A(－4,2)的距离都是10，则点P的坐标为________．</p><p>解析：设P(x，y)，由距离公式，得</p><p>|y|＝10x＋42＋y－22＝10，解得x＝2，y＝10，</p><p>P(2,10)．</p><p>答案：(2,10)</p><p>1．点A(2a,1)与点B(2，a)之间的距离为()</p><p>A.5(a－1) B.5(1－a)</p><p>C.5|a－1| D．5(a－1)2</p><p>解析：选C.d(A，B)＝2a－22＋1－a2＝5|a－1|.</p><p>2．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()</p><p>A．4 B.13</p><p>C.15 D.17</p><p>解析：选D.</p><p>由题意知1＝x－22y＝5－32x＝4y＝1，d＝42＋12＝17.</p><p>3．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，则顶点C的坐标是()</p><p>A．(4，－3) B．(1,4)</p><p>C．(－4，－2) D．(－2，－2)</p><p>解析：选C.设C(x，y)，则2＋8＋x3＝2，x＝－4.</p><p>3＋－4＋y3＝－1，y＝－2，故选C.</p><p>4．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在()</p><p>A．P1处 B．P2处</p><p>C．P3处 D．P4处</p><p>解析：选A.以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)＝|AP|2＋|BP|2＋|CP|2＋|DP|2＋|EP|2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋20230＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋2023.</p><p>当x＝y＝24时，f(x，y)有最小值，此时点P为(24,24)与点P1重合．</p><p>5．若平行四边形的三个顶点为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不可能是()</p><p>A．(9，－4) B．(1,8)</p><p>C．(－3,0) D．(1，－3)</p><p>解析：选D.设第四个顶点为(x，y)，然后分三种情况讨论．若(3，－2)，(5,2)是一条对角线的两端点，则有3＋52＝－1＋x2，－2＋22＝4＋y2，x＝9，y＝－4，即第四个顶点为(9，－4)；若(5,2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(1,8)；若(3，－2)，(－1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(－3,0)．</p><p>6．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|＝2|AC|，则C点坐标为()</p><p>A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1)</p><p>C．(－1,1)或(1,3) D．无数多个</p><p>解析：选D.设C(x，y)，则4－22＋2－02</p><p>＝2x－22＋y－02，</p><p>即(x－2)2＋y2＝2.存在无数多个C点．</p><p>7．点A(－1,2)关于原点的对称点到点(3，m)的距离是25，则m的值是________．</p><p>解析：点(－1,2)关于原点的对称点为(1，－2)，</p><p>1－32＋－2－m2＝25，解得m＝2或－6.</p><p>答案：2或－6</p><p>8．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0,1)、C(0,3)，则此三角形的形状是________．</p><p>解析：∵|AB|＝3－02＋2－12＝2，</p><p>|AC|＝3－02＋2－32＝2，</p><p>|BC|＝0－02＋1－32＝2，</p><p>|AB|＝|AC|＝|BC|.</p><p>△ABC为等边三角形．</p><p>答案：等边三角形</p><p>9．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是________．</p><p>解析：|AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2</p><p>＝2a2－2a＋25</p><p>＝2(a－12)2＋492</p><p>a＝12时，|AB|最小．</p><p>答案：12</p><p>10．求函数f(x)＝x2－12x＋37＋x2－4x＋13的最小值．</p><p>解：∵x2－12x＋37＝x－62＋1，</p><p>x2－4x＋13＝x－22＋9，</p><p>可设A(6,1)、B(2,3)、P(x,0)，则</p><p>f(x)＝|PA|＋|PB|.</p><p>要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P，使|PA|＋|PB|最小．</p><p>设B关于x轴的对称点为B，</p><p>B(2，－3)(如图所示)．</p><p>|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB|AB|，</p><p>|AB|＝2－62＋－3－12＝42，</p><p>当B、P、A三点共线时取等号，</p><p>即|PA|＋|PB|最小值为42，</p><p>也就是f(x)的最小值为42.</p><p>11．已知两点A(2,2)和B(5，－2)，试问在坐标轴上能否找到一点P，使APB为直角？</p><p>解：假设在x轴上能找到一点P(x,0)，使APB＝90.</p><p>由勾股定理，知|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，所以(x－2)2＋22＋(x－5)2＋(－2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2.</p><p>化简，得x2－7x＋6＝0.解得x＝1或x＝6.</p><p>所以在x轴上存在点P(1,0)或P(6,0)，使得APB为直角．</p><p>假设在y轴上能找到一点P(0，y)，使APB＝90.</p><p>同理，由勾股定理得：(0－2)2＋(y－2)2＋(0－5)2＋(y＋2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2，</p><p>化简，得y2＋6＝0，此方程无实数解．</p><p>所以在y轴上不存在点P，使APB是直角．</p><p>综上所述，存在两点，P的坐标为(1,0)或(6,0)，使得APB为直角．</p><p>12．证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．</p><p>证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为C(a＋b，c)．</p><p>因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，</p><p>|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，</p><p>|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(a－b)2＋c2，</p><p>所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，</p><p>而|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，</p><p>所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.</p><p>因此平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．</p>
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