高中数学单调性与最大最小值检测试题（附答案）
<p>1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在上的最大值为()</p><p>A．9 B．9(1－a)</p><p>C．9－a D．9－a2</p><p>解析：选A.x时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9.</p><p>2．函数y＝x＋1－x－1的值域为()</p><p>A．(－，2 ] B．(0，2 ]</p><p>C．上取得最大值3，最小值2，则实数a为()</p><p>A．0或1 B．1</p><p>C．2 D．以上都不对</p><p>解析：选B.因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2, 对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，</p><p>f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2.故a＝1.</p><p>4．(2023年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1.则xy的最大值为________．</p><p>解析：y4＝1－x3，0＜1－x3＜1,0＜x＜3.</p><p>而xy＝x4(1－x3)＝－43(x－32)2＋3.</p><p>当x＝32，y＝2时，xy最大值为3.</p><p>答案：3</p><p>1．函数f(x)＝x2在上的最小值是()</p><p>A．1 B．0</p><p>C.14 D．不存在</p><p>解析：选B.由函数f(x)＝x2在上的图象(图略)知，</p><p>f(x)＝x2在上单调递增，故最小值为f(0)＝0.</p><p>2．函数f(x)＝2x＋6，xx＋7，x[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为()</p><p>A．10,6 B．10,8</p><p>C．8,6 D．以上都不对</p><p>解析：选A.f(x)在x[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.</p><p>3．函数y＝－x2＋2x在上的最大值为()</p><p>A．1 B．2</p><p>C．－1 D．不存在</p><p>解析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.</p><p>4．函数y＝1x－1在上的最小值为()</p><p>A．2 B.12</p><p>C.13 D．－12</p><p>解析：选B.函数y＝1x－1在上为减函数，</p><p>ymin＝13－1＝12.</p><p>5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()</p><p>A．90万元 B．60万元</p><p>C．120万元 D．120.25万元</p><p>解析：选C.设公司在甲地销售x辆(015，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.</p><p>6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()</p><p>A．－1 B．0</p><p>C．1 D．2</p><p>解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.</p><p>函数f(x)图象的对称轴为x＝2，</p><p>f(x)在上单调递增．</p><p>又∵f(x)min＝－2，</p><p>f(0)＝－2，即a＝－2.</p><p>f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.</p><p>7．函数y＝2x2＋2，xN*的最小值是________．</p><p>解析：∵xN*，x21，</p><p>y＝2x2＋24，</p><p>即y＝2x2＋2在xN*上的最小值为4，此时x＝1.</p><p>答案：4</p><p>8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．</p><p>解析：由题意知f(x)在上是单调递减的，</p><p>又∵f(x)的单调减区间为(－，3]，</p><p>13.</p><p>答案：(1,3]</p><p>9．函数f(x)＝xx＋2在区间上的最大值为________；最小值为________．</p><p>解析：∵f(x)＝xx＋2＝x＋2－2x＋2＝1－2x＋2，</p><p>函数f(x)在上是增函数，</p><p>f(x)min＝f(2)＝22＋2＝12，</p><p>f(x)max＝f(4)＝44＋2＝23.</p><p>答案：2023</p><p>10．已知函数f(x)＝x2－2023x1＜x2，</p><p>求f(x)的最大、最小值．</p><p>解：当－121时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；</p><p>当1＜x2时，由f(x)＝1x，得f(2)f(x)＜f(1)，</p><p>即12f(x)＜1.</p><p>综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.</p><p>11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为2023元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．</p><p>(1)当每辆车的月租金为2023元时，能租出多少辆车？</p><p>(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？</p><p>解：(1)当每辆车的月租金为2023元时，未租出的车辆数为2023－202350＝12.所以这时租出了88辆车．</p><p>(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x－202350)(x－150)－x－20232023，</p><p>整理得</p><p>f(x)＝－x250＋162x－20230＝－150(x－2023)2＋202350.</p><p>所以，当x＝2023时，f(x)最大，最大值为f(2023)＝202350.即当每辆车的月租金为2023元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为202350元．</p><p>12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间上的最大值和最小值．</p><p>解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.</p><p>①当a＜0时，由图①可知，</p><p>f(x)min＝f(0)＝－1，</p><p>f(x)max＝f(2)＝3－4a.</p><p>②当0a＜1时，由图②可知，</p><p>f(x)min＝f(a)＝－1－a2，</p><p>f(x)max＝f(2)＝3－4a.</p><p>③当12时，由图③可知，</p><p>f(x)min＝f(a)＝－1－a2，</p><p>f(x)max＝f(0)＝－1.</p><p>④当a＞2时，由图④可知，</p><p>f(x)min＝f(2)＝3－4a，</p><p>f(x)max＝f(0)＝－1.</p><p>综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；</p><p>当0a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；</p><p>当12时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；</p><p>当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.</p>
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