高中数学三角恒等变形综合检测题（北师大版附答案）
<p>第三章三角恒等变形</p><p>(时间120分钟，满分150分)</p><p>一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)</p><p>1．sin 15cos 75＋cos 15sin 75等于()</p><p>A．0 B.12</p><p>C.32 D．1</p><p>【解析】sin 15cos 75＋cos 15sin 75</p><p>＝sin(15＋75)＝sin 90＝1.</p><p>【答案】D</p><p>2．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x、y的大小关系为()</p><p>A．xy B．x＞y</p><p>C．x＜y D．xy</p><p>【解析】y－x＝cos(A＋B)＝cos(－C)＝－cos C，</p><p>∵C为锐角，－cos C＜0，</p><p>y－x＜0，即x＞y.</p><p>【答案】B</p><p>3．若sin ＋cos ＝tan (02)，则的取值范围是()</p><p>A．(0，6) B．(4)</p><p>C．(3) D．(2)</p><p>【解析】因为sin ＋cos ＝2sin(＋4)，当02时，此式的取值范围是(1，2]，而tan 在(0，4)上小于1，故可排除A，B；在(2)上sin ＋cos 与tan 不可能相等，所以D不正确，故选C.</p><p>【答案】C</p><p>4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是()</p><p>A．等腰三角形 B．正三角形</p><p>C．直角三角形 D．等腰直角三角形</p><p>【解析】sin C＝sin[－(A＋B)]＝sin(A＋B)，</p><p>sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B.</p><p>sin(A－B)＝0，A＝B，</p><p>△ABC为等腰三角形．</p><p>【答案】A</p><p>5．(2023陕西高考)设向量a＝(1，cos )与b＝(－1，2cos )垂直，则cos 2等于()</p><p>A.22 B.12</p><p>C．0 D．－1</p><p>【解析】a＝(1，cos )，b＝(－1,2cos )．</p><p>∵ab，ab＝－1＋2cos2＝0，</p><p>cos2＝12，cos 2＝2cos2－1＝1－1＝0.</p><p>【答案】C</p><p>6．当02时，函数f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x的最小值为()</p><p>A．2 B．23</p><p>C．4 D．43</p><p>【解析】f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x＝2cos2x＋8sin2x2sin xcos x＝cot x＋4tan x24＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝12时取得等号．故选C.</p><p>【答案】C</p><p>7．(2023江西高考)若sin 2＝33，则cos ＝()</p><p>A．－23 B．－13</p><p>C.13 D.23</p><p>【解析】cos ＝1－2sin22＝1－2023＝1－23＝13.</p><p>【答案】C</p><p>8．(2023重庆高考)4cos 50－tan 40＝()</p><p>A.2 B.2＋32</p><p>C.3 D．22－1</p><p>【解析】4cos 50－tan 40＝4sin 40－sin 40cos 40</p><p>＝4sin 40cos 40－sin 40cos 40＝2sin 80－sin 40cos 40</p><p>＝sin 80＋sin60＋20－sin60－20cos 40</p><p>＝sin 80＋2cos 60sin 20cos 40＝sin 80＋sin 20cos 40</p><p>＝sin50＋30＋sin50－30cos 40</p><p>＝2sin 50cos 30cos 40＝3cos 40cos 40＝3.</p><p>【答案】C</p><p>9．已知f(x)＝sin2(x＋4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 15)，则()</p><p>A．a＋b＝0 B．a－b＝0</p><p>C．a＋b＝1 D．a－b＝1</p><p>【解析】由题意知f(x)＝sin2(x＋4)＝1－cos2x＋22＝1＋sin 2x2，</p><p>令g(x)＝12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋12，b＝f(lg 15)＝g(lg 15)＋12，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg 15)＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1.</p><p>【答案】C</p><p>10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是()</p><p>A．f(x)在(2)上是递增的</p><p>B．f(x)的图像关于原点对称</p><p>C．f(x)的最小正周期为2</p><p>D．f(x)的最大值为2</p><p>【解析】f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，</p><p>f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．</p><p>【答案】B</p><p>二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)</p><p>11．(2023江西高考)若sin ＋cos sin －cos ＝12，则tan 2＝________.</p><p>【解析】由sin ＋cos sin －cos ＝12，等式左边分子、分母同除cos 得，tan ＋1tan －1＝12，解得tan ＝－3，则tan 2＝2tan 1－tan2＝34.</p><p>【答案】34</p><p>12．知，(0，4)，tan 21－tan22＝14，且3sin ＝sin(2＋)，则＋＝________.</p><p>【解析】由tan 21－tan22＝14，得tan ＝12.由3sin ＝sin(2＋)，得3sin[(＋)－]＝sin[(＋)＋]，化简得tan(＋)＝2tan ＝1.由于，(0，4)，故＋(0，2)，所以＋＝4.</p><p>【答案】4</p><p>13．若是第二象限角，cos 2－sin 2＝1－sin ，则角2所在的象限是________．</p><p>【解析】∵1－sin ＝ sin 2－cos 22</p><p>＝|sin 2－cos 2|＝cos 2－sin 2，</p><p>sin cos 2.</p><p>∵是第二象限角，</p><p>2＋2k＋2k，kZ.</p><p>则4＋k2＋kZ.</p><p>由上可得54＋2k32＋2k，kZ.所以2是第三象限角．</p><p>【答案】第三象限角</p><p>14．函数f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是________．</p><p>【解析】f(x)＝1－cos22x－42</p><p>＝1－cos4x－22＝1－sin 4x2，</p><p>最小正周期T＝22.</p><p>【答案】2</p><p>15．(2023江苏高考)设为锐角，若cos(＋6)＝45，则sin(2＋12)的值为________．</p><p>【解析】∵为锐角且cos(＋6)＝45，</p><p>sin(＋6)＝35.</p><p>sin(2＋12)＝sin</p><p>＝sin 2(＋6)cos 4－cos 2(＋6)sin 4</p><p>＝2sin(＋6)cos(＋6)－22</p><p>＝20235－22＝20235－2023＝20230.</p><p>【答案】20230</p><p>三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)</p><p>16．(本小题满分12分)(2023辽宁高考)设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x0，2.</p><p>(1)若|a|＝|b|，求x的值；</p><p>(2)设函数f(x)＝ab，求f(x)的最大值．</p><p>【解】(1)由|a|2＝(3sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，</p><p>|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，</p><p>及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.</p><p>又x0，2，从而sin x＝12，</p><p>所以x＝6.</p><p>(2)f(x)＝ab＝3sin xcos x＋sin2x</p><p>＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin2x－6＋12，</p><p>当x＝0，2时，sin2x－6取最大值1.</p><p>所以f(x)的最大值为32.</p><p>17．(本小题满分12分)若2sin(4＋)＝sin ＋cos ，2sin2＝sin 2，求证：sin 2＋12cos 2＝0.</p><p>【证明】由2sin(4＋)＝sin ＋cos 得2cos ＋2sin ＝sin ＋cos ，两边平方得</p><p>2(1＋sin 2)＝1＋sin 2，即</p><p>sin 2＝12(sin 2－1)， ①</p><p>由2sin2＝sin 2得，1－cos 2＝sin 2. ②</p><p>将②代入①得</p><p>sin 2＝12[(1－cos 2)－1]得</p><p>sin 2＝－12cos 2，</p><p>即sin 2＋12cos 2＝0.</p><p>18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos xsinx＋4(＞0)的最小正周期为.</p><p>(1)求的值；</p><p>(2)讨论f(x)在区间0，2上的单调性．</p><p>【解】(1)f(x)＝4cos xsinx＋4</p><p>＝22sin xcos x＋22cos2x</p><p>＝2(sin 2x＋cos 2x)＋2＝2sin2x＋4＋2.</p><p>因为f(x)的最小正周期为，且＞0，</p><p>从而有2＝，故＝1.</p><p>(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋4)＋2.</p><p>若02，则2x＋54.</p><p>当2x＋2，即08时，f(x)单调递增；</p><p>当2＜2x＋54，即8＜x2时，f(x)单调递减．</p><p>综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间2上单调递减．</p><p>19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2，xR(其中0)．</p><p>(1)求函数f(x)的值域；</p><p>(2)若对任意的aR，函数y＝f(x)，x(a，a＋]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，xR的单调增区间．</p><p>【解】(1)f(x)＝sin(x＋6)＋sin(x－6)－2cos2x2＝2sin xcos 6－cos x－1</p><p>＝2sin(x－6)－1，</p><p>∵xR，f(x)的值域为[－3,1]．</p><p>(2)由题意得函数f(x)的周期为.</p><p>2＝，＝2，</p><p>f(x)＝2sin(2x－6)－1.</p><p>令2k22x－2k2，kZ.</p><p>得k6k3，kZ.</p><p>函数f(x)的单调增区间为，kZ.</p><p>图1</p><p>20．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角与)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)．</p><p>(1)求sin 2＋cos 2＋11＋tan 的值；</p><p>(2)若OPOQ＝0，求sin(＋)．</p><p>【解】(1)由三角函数定义得cos ＝－35，sin ＝45，</p><p>则原式＝2sin cos ＋2cos21＋sin cos ＝2cos sin ＋cos sin ＋cos cos</p><p>＝2cos2＝2(－35)2＝2023.</p><p>(2)∵OPOQ＝0，－＝2.</p><p>＝－2.</p><p>sin ＝sin(－2)＝－cos ＝35，</p><p>cos ＝cos(－2)＝sin ＝45.</p><p>sin(＋)＝sin cos ＋cos sin</p><p>＝2023＋(－35)35＝725.</p><p>21．(本小题满分13分)(2023湖北高考)设函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x－cos2x＋(xR)的图像关于直线x＝对称，其中，为常数，且(12，1)．</p><p>(1)求函数f(x)的最小正周期；</p><p>(2)若y＝f(x)的图像经过点(4，0)，求函数f(x)的值域．</p><p>【解】(1)因为f(x)＝sin2x－cos2x＋23sin xcos x＋＝－cos 2x＋3sin 2x＋＝2sin(2x－6)＋，</p><p>由直线x＝是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2－6)＝1，</p><p>所以2－6＝k2(kZ)，即＝k2＋13(kZ)．</p><p>又(12，1)，kZ，所以k＝1，故＝56.</p><p>所以函数f(x)的最小正周期是65.</p><p>(2)由y＝f(x)的图像过点(4，0)，得f(4)＝0，</p><p>即＝－2sin(562－6)＝－2sin 4＝－2，即＝－2.</p><p>故f(x)＝2sin(53x－6)－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．</p>
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