高中数学三角函数综合检测题（北师大版有答案）
<p>第一章三角函数</p><p>(时间120分钟，满分150分)</p><p>一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)</p><p>1．函数f(x)＝3sin(x2－4)，xR的最小正周期为()</p><p>A.2 B．</p><p>C．2 D．4</p><p>【解析】T＝2＝212＝4</p><p>【答案】D</p><p>2．化简sin(9－)＋cos(－92－)＝()</p><p>A．2sinB．2cos</p><p>C．sin ＋cosD．0</p><p>【解析】sin(9－)＋cos(－92－)＝sin(－)＋cos(2＋)＝sin －sin ＝0.</p><p>【答案】D</p><p>3．函数f(x)＝tan x(＞0)图像的相邻的两支截直线y＝4所得线段长为4，则f(4)的值是()</p><p>A．0 B．1</p><p>C．－1 D.4</p><p>【解析】由题意知截得线段长为一周期，T＝4，</p><p>＝4＝4，</p><p>f(4)＝tan (44)＝0.</p><p>【答案】A</p><p>4．已知角的终边上一点的坐标为(sin 23，cos 23)，则角的最小正值为</p><p>()</p><p>A.5 B.23</p><p>C.5 D.116</p><p>【解析】∵sin 20，cos 20，</p><p>点(sin 23，cos 23)在第四象限．</p><p>又∵tan ＝cos 23sin 23＝－33，</p><p>的最小正值为2－16＝116.</p><p>【答案】D</p><p>5．要得到函数y＝sin(4x－3)的图像，只需把函数y＝sin 4x的图像()</p><p>A．向左平移3个单位长度</p><p>B．向右平移3个单位长度</p><p>C．向左平移12个单位长度</p><p>D．向右平移12个单位长度</p><p>【解析】由于y＝sin(4x－3)＝sin，所以只需把y＝sin 4x的图像向右平移12个单位长度，故选D.</p><p>【答案】D</p><p>6．设函数f(x)＝sin(2x＋3)，则下列结论正确的是()</p><p>A．f(x)的图像关于直线x＝3对称</p><p>B．f(x)的图像关于点(4，0)对称</p><p>C．把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到一个偶函数的图像</p><p>D．f(x)的最小正周期为，且在上为增函数</p><p>【解析】f(3)＝sin(23＋3)＝sin ＝0，故A错；</p><p>f(4)＝sin(24＋3)＝sin(3)＝cos 3＝120，故B错；把f(x)的图像向左平移12个单位长度，得到y＝cos 2x的图像，故C正确．</p><p>【答案】C</p><p>7．(2023福建高考)函数f(x)＝sin(x－4)的图像的一条对称轴是()</p><p>A．x＝4 B．x＝2</p><p>C．x＝－4 D．x＝－2</p><p>【解析】法一∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，</p><p>故令x－4＝k2，kZ，x＝k4，kZ.</p><p>取k＝－1，则x＝－4.</p><p>法二x＝4时，y＝sin(4)＝0，不合题意，排除A；x＝2时，y＝sin(4)＝22，不合题意，排除B；x＝－4时，y＝sin(－4)＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－2时，y＝sin(－4)＝－22，不合题意，故D项也不正确．</p><p>【答案】C</p><p>8．(2023西安高一检测)下列函数中，以为周期且在区间(0，2)上为增函数的函数是()</p><p>A．y＝sinx2 B．y＝sin x</p><p>C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x</p><p>【解析】C、D中周期为，A、B不满足T＝.</p><p>又y＝－tan x在(0，2)为减函数，C错．</p><p>y＝－cos 2x在(0，2)为增函数．</p><p>y＝－cos 2x满足条件．</p><p>【答案】D</p><p>9．已知函数y＝sin x3在区间上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为()</p><p>A．6 B．7</p><p>C．8 D．9</p><p>【解析】T＝6，则5T4t，如图：</p><p>t152，tmin＝8.</p><p>故选C.</p><p>【答案】C</p><p>10．(2023天津高考)将函数f(x)＝sin x(其中0)的图像向右平移4个单位长度，所得图像经过点(34，0)，则的最小值是()</p><p>A.13 B．1</p><p>C.53 D．2</p><p>【解析】根据题意平移后函数的解析式为y＝sin (x－4)，将(34，0)代入得sin 2＝0，则＝2k，kZ，且0，故的最小值为2.</p><p>【答案】D</p><p>二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)</p><p>11．已知圆的半径是6 cm，则15的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.</p><p>【解析】2023，扇形的面积为S＝12r2＝202312＝32.</p><p>【答案】32</p><p>12．sin(－120)cos 1 290＋cos(－1 020)sin(－1 050)＝________.</p><p>【解析】原式＝－sin(180－60cos(2023＋210)＋cos(－1 080＋60sin(－2023＋30)</p><p>＝－sin 60cos(180＋30)＋cos 60sin 30</p><p>＝－32(－32)＋2023＝1.</p><p>【答案】1</p><p>13．(2023江苏高考)函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期为________．</p><p>【解析】函数y＝3sin(2x＋4)的最小正周期T＝2.</p><p>【答案】</p><p>图1</p><p>14．已知函数f(x)＝sin(x＋)(0)的图像如图所示，则＝________.</p><p>【解析】由图像可知，</p><p>T＝4(23)＝43，</p><p>＝2T＝32.</p><p>【答案】32</p><p>15．关于x的函数f(x)＝sin(x＋)有以下命题：</p><p>①对于任意的，f(x)都是非奇非偶函数；②不存在，使f(x)既是奇函数又是偶函数；③存在，使f(x)是奇函数；④对任意的，f(x)都不是偶函数．</p><p>其中假命题的序号是________．</p><p>【解析】当＝2k，kZ时，f(x)＝sin x是奇函数；</p><p>当＝(2k＋1)，kZ时，f(x)＝－sin x仍是奇函数；</p><p>当＝2k2，kZ时，f(x)＝cos x或＝2k2，kZ时，f(x)＝－cos x都是偶函数．</p><p>所以①和④是错误的，③是正确的．</p><p>又因为无论取何值都不能使f(x)恒为零，故②正确．所以填①④.</p><p>【答案】①④</p><p>三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)</p><p>16．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)．</p><p>(1)求：sin(－x)－sin(2＋x)的值；</p><p>(2)写出角x的集合S.</p><p>【解】∵x的终边过点P(1，3)，</p><p>r＝|OP|＝12＋32＝2.</p><p>sin x＝32，cos x＝12.</p><p>(1)原式＝sin x－cos x＝3－12.</p><p>(2)由sin x＝32，cos x＝12.</p><p>若x，则x＝3，</p><p>由终边相同角定义，S＝{x|x＝2k3，kZ}.</p><p>17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋)＋2(A＞0，＞0)图像上的一个最高点的坐标为(8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y＝2交于点(38，2)，若(－2)．</p><p>(1)试求这条曲线的函数表达式；</p><p>(2)求函数的对称中心．</p><p>【解】(1)由题意得A＝22－2＝2.</p><p>由T4＝38＝4，</p><p>周期为T＝.</p><p>＝2T＝2＝2，</p><p>此时解析式为y＝2sin(2x＋)＋2.</p><p>以点(8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有</p><p>28＋2，</p><p>4，</p><p>y＝2sin(2x＋4)＋2.</p><p>(2)由2x＋4＝kZ)得x＝k8(kZ)．</p><p>函数的对称中心为(k8，2)(kZ)．</p><p>18．(本小题满分12分)(2023陕西高考)函数f(x)＝Asin(x－6)＋1(A0，0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2.</p><p>(1)求函数f(x)的解析式；</p><p>(2)设(0，2)，f(2)＝2，求的值．</p><p>【解】(1)∵函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2.</p><p>∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，</p><p>最小正周期T＝，＝2，</p><p>函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－6)＋1.</p><p>(2)∵f(2)＝2sin(－6)＋1＝2，</p><p>sin(－6)＝12.</p><p>∵02，－－3，</p><p>－6，＝3.</p><p>19．(本小题满分13分)已知y＝a－bcos 3x(b0)的最大值为32，最小值为－12.</p><p>(1)求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x的值；</p><p>(2)判断(1)问中函数的奇偶性．</p><p>【解】(1)∵y＝a－bcos 3x，b0，</p><p>ymax＝a＋b＝32，ymin＝a－b＝－12，解得a＝12，b＝1.</p><p>函数y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，</p><p>此函数的周期T＝23.</p><p>当x＝2k6(kZ)时，函数取得最小值－2；</p><p>当x＝2k6(kZ)时，函数取得最大值2.</p><p>(2)∵函数解析式为y＝－2sin 3x，xR，</p><p>－2sin(－3x)＝2sin 3x，即f(－x)＝－f(x)，</p><p>f(x)为奇函数．</p><p>20．(本小题满分13分)函数f1(x)＝Asin(x＋0，0，|2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．</p><p>图2</p><p>(1)求函数f1(x)的表达式；</p><p>(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移4个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合，并写出该函数的增区间．</p><p>【解】(1)由题意知T＝，＝2.</p><p>将y＝Asin 2x的图像向左平移12，得y＝Asin(2x＋)的图像，于是＝212＝6.</p><p>将(0,1)代入y＝Asin(2x＋6)，得A＝2.</p><p>故f1(x)＝2sin(2x＋6)．</p><p>(2)依题意，f2(x)＝2sin</p><p>＝－2cos(2x＋6)，xKb 1. Com</p><p>y＝f2(x)的最大值为2.</p><p>当2x＋6＝2k(kZ)，</p><p>即x＝k12(kZ)时，ymax＝2，</p><p>x的集合为{x|x＝k12，kZ}．</p><p>∵y＝cos x的减区间为x，kZ，</p><p>f2(x)＝－2cos (2x＋6)的增区间为{x|2k2x＋2k，kZ}，解得{x|k12k12，kZ}，</p><p>f2(x)＝－2cos(2x＋6)的增区间为x－12，k12]，kZ.</p><p>图3</p><p>21．(本小题满分13分)已知定义在区间[－3]上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－6对称，当x[－6，23]时，函数f(x)＝Asin(x＋0，0，－2)，其图像如图所示．</p><p>(1)求函数y＝f(x)在[－3]上的表达式；</p><p>(2)求方程f(x)＝22的解．</p><p>【解】(1)由图像可知，A＝1，T4＝26＝2，</p><p>T＝2.</p><p>＝2T＝2＝1.</p><p>∵f(x)＝sin(x＋)过点(23，0)，</p><p>23＋.</p><p>3.</p><p>f(x)＝sin(x＋3)，x[－6，23]．</p><p>∵当－x6时，－－x－23，</p><p>又∵函数y＝f(x)在区间[－3]上的图像关于直线x＝－6对称，</p><p>f(x)＝f(－x－3)＝sin[(－x－3)＋3]＝sin(－x)＝－sin x，x[－，－6]．</p><p>f(x)＝sinx＋3，x[－6，23]，－sin x，x[－，－6.</p><p>(2)当－x3时，x＋.</p><p>由f(x)＝sin(x＋3)＝22，得x＋4或x＋3＝34，</p><p>x＝－12或x＝512.</p><p>当－x6时，由f(x)＝－sin x＝22，即sin x＝－22得x＝－4或x＝－34.</p><p>方程f(x)＝22的解为x＝－12或512或－4或－3</p>
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