高中数学函数的奇偶性同步检测1（带解析新人教A版必修1）
<p>函数的奇偶性同步检测1（带解析新人教A版必修1）</p><p>一、选择题</p><p>1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()</p><p>[答案]B</p><p>2．下列命题中错误的是()</p><p>①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数；</p><p>②奇函数的图象一定过原点；</p><p>③偶函数的图象与y轴一定相交；</p><p>④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数．</p><p>A．①② B．③④</p><p>C．①④ D．②③</p><p>[答案]D</p><p>[解析]f(x)＝1x为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝x－1x1－x－1－1为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．</p><p>3．(2023～2023山东冠县武训中学月考试题)下列函数中是偶函数的是()</p><p>A．y＝x4－3 B．y＝x2x(－3,3]</p><p>C．y＝－3x D．y＝2(x－1)2＋1</p><p>[答案]A</p><p>4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx()</p><p>A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数</p><p>C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵f(－x)＝f(x)，</p><p>a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对xR恒成立．</p><p>b＝0.</p><p>g(x)＝ax3＋cx.</p><p>g(－x)＝－g(x)．</p><p>5．已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝()</p><p>A．－15 B．15</p><p>C．10 D．－10</p><p>[答案]A</p><p>[解析]解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，</p><p>f(3)＝－15.</p><p>解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，</p><p>∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，</p><p>g(3)＝－10，f(3)＝g(3)－5＝－15.</p><p>6．(2023辽宁)若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()</p><p>A．12 B．23</p><p>C．34 D．1</p><p>[答案]A</p><p>[分析]因为已知函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此求a.</p><p>[解析]要使函数式有意义，则x－12，xa，而函数为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a＝12.经验证当a＝12时，函数f(x)是奇函数．</p><p>二、填空题</p><p>7．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋2)＋f(11－2)＝________.</p><p>[答案]0</p><p>[解析]11－2＝－(1＋2)，f(1＋2)＋f(11－2)＝f(1＋2)－f(1＋2)＝0.</p><p>8．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.</p><p>[答案]6</p><p>[分析]将x＝－2代入g(x)＝f(x)＋9，利用f(－2)＝－f(2)求f(2)．</p><p>[解析]根据已知条件，得g(－2)＝f(－2)＋9，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，则3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.</p><p>9．(2023～2023河南安阳一中月考试题)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b)是偶函数，它的值域为(－，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.</p><p>[答案]－2x2＋4</p><p>[解析]由于f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2，</p><p>所以f(－x)＝bx2－(ab＋2a)x＋2a2，</p><p>ab＋2a＝0，a＝0或b＝－2.</p><p>又f(x)最大值4.所以b＝－2，</p><p>且f(0)＝2a2＝4，a＝2，</p><p>f(x)＝－2x2＋4.</p><p>三、解答题</p><p>10．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25，求函数f(x)的解析式．</p><p>[解析]因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，</p><p>所以f(0)＝0，即b＝0.</p><p>又f12＝25，所以12a1＋122＝25，</p><p>所以a＝1，所以f(x)＝x1＋x2.</p><p>11．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．</p><p>[解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2</p><p>又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：</p><p>f(x)＝x2－2，g(x)＝x.</p><p>12．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，yR都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)0.</p><p>(1)求证：f(0)＝1.</p><p>(2)判断函数的奇偶性．</p><p>[解析](1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，</p><p>因f(0)0，则f(0)＝1.</p><p>(2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)，则f(－y)＝f(y)，</p><p>f(x)是偶函数．</p>
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