高中数学对数的运算课后训练（带解析新人教A版必修1）
<p>对数的运算课后训练（带解析新人教A版必修1）</p><p>一、选择题</p><p>1．若a＞0，a1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数有()</p><p>①logaxlogay＝loga(x＋y)；</p><p>②logax－logay＝loga(x－y)；</p><p>③logaxy＝logaxlogay；</p><p>④loga(xy)＝logaxlogay.</p><p>A．0B．1 </p><p>C．2D．3</p><p>[答案]A</p><p>[点拨]对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减，乘的运算．在运算中注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算，如logaxlogax，logax是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．</p><p>2．下列各式错误的是()</p><p>①log202300＝－2；</p><p>②log333＝13；</p><p>③lga＋lg1a＝0(a＞0)；</p><p>④log318－log32＝3；</p><p>⑤log2023－log2023＝－2；</p><p>⑥2log510＋log50.25＝2.</p><p>A．④ B．⑤</p><p>C．⑥ D．全错</p><p>[答案]A</p><p>[解析]显然①②③成立；</p><p>④式左边＝log2023＝log39＝23，故④式不成立；</p><p>⑤式左边＝log202325＝log202300＝－2，</p><p>⑥式左边＝log2023＋log50.25＝log5(2023.25)＝log525＝2，故选A.</p><p>3．(2023～2023晋江高一检测)已知ab＝M(a＞0，b＞0，M1)，logMb＝x，则logMa的值为()</p><p>A．1x B．1＋x</p><p>C．1－x D．x－1</p><p>[答案]C</p><p>[解析]logMa＝logMMb＝logMM－logMb＝1－x，故选C.</p><p>4．已知2x＝9，log283＝y，则x＋2y的值为()</p><p>A．6 B．8</p><p>C．4 D．log48</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵2x＝9，x＝log29，</p><p>x＋2y＝log29＋2log283＝log29＋log2023＝log2(2023)＝log264＝6，</p><p>故选A.</p><p>5．(2023～2023克拉玛依高一检测)若p＝log23log34，Q＝lg2＋lg5，M＝e0，N＝ln1，则正确的是()</p><p>A．P＝Q B．Q＝M</p><p>C．M＝N D．N＝P</p><p>[答案]B</p><p>[解析]P＝log24＝2，Q＝lg2＋lg5＝1</p><p>M＝1，N＝0，Q＝M，选B.</p><p>6．(2023～2023曲靖高一检测)已知2x＝72y＝A，且1x＋1y＝2，则A的值是()</p><p>A．7 B．72</p><p>C．72 D．98</p><p>[答案]B</p><p>[解析]x＝log2A，y＝12logA7，</p><p>1x＋1y＝1log2A＋2log7A＝logA2＋2logA7＝logA(272)＝logA98＝2，A2＝98，</p><p>A＝72，故选B.</p><p>二、填空题</p><p>7．(2023～2023河北孟村回民中学月考试题)化简</p><p>log2(1＋2＋3)＋log2(1＋2－3)＝________.</p><p>[答案]32</p><p>[解析]log2(1＋2＋3)＋log2(1＋2－3)</p><p>＝log2[(1＋2)2－32]＝log222＝log2023＝32.</p><p>8．计算lg5lg20＋(lg2)2＝________.</p><p>[答案]1</p><p>[解析]原式＝lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝(lg10)2＝1.</p><p>9．log43log20232＝________.</p><p>[答案]－58</p><p>[解析]原式＝log43(－14log332)＝－14log432＝－14log2023＝－2023＝－58.</p><p>三、解答题</p><p>10．若a＞0且a1，x＞y＞0，nN*，则下列各式：</p><p>(1)(logax)n＝nlogax；</p><p>(2)(logax)n＝logaxn；</p><p>(3)logax＝－loga1x；</p><p>(4)logaxlogay＝logaxy；</p><p>(5)nlogax＝1nlogax；</p><p>(6)logaxn＝loganx；</p><p>(7)logax＝loganxn；</p><p>(8)logax－yx＋y＝－logax＋yx－y.</p><p>其中成立的有多少个．</p><p>[解析]利用对数的运算性质判断各式是否正确即可．</p><p>(1)是错误的，如(log24)3＝83log24＝6；</p><p>(2)是错误的，如(log24)3＝8log243＝log226＝6；</p><p>(3)是正确的，因为－loga1x＝－logax－1＝logax；</p><p>(4)是错误的，如log24log22＝2log242＝1；</p><p>(5)同①一样，也不正确；</p><p>(6)是正确的，因为loganx＝logax1n ＝1nlogax；</p><p>(7)是正确的，设loganxn＝y，则(an)y＝xn，</p><p>即x＝nany＝anyn＝ay，所以y＝logax，即loganxn＝logax；</p><p>(8)是正确的，因为logax－yx＋y＝loga(x＋yx－y)－1</p><p>＝－logax＋yx－y.所以成立的有4个．</p><p>[点评]利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，运用对数的运算性质时一要注意真数必须大于0；二要注意积、商、乘方的对数运算对应着对数的和、差、积的运算．</p><p>11．计算：(1)(log2023 )2＋log0.2023＋9log55－log31；</p><p>(2)lg25＋23lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.</p><p>(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.</p><p>[分析]直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合．</p><p>[解析](1)(log2023 )2＋log0.2023＋9log55－log31＝(12)2＋1＋912－0＝14＋1＋92＝234.</p><p>(2)原式＝lg25＋lg823＋lg102lg(102)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(254)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.</p><p>(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23</p><p>＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg31＋lg6－lg10＋lg2</p><p>＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3lg2＋lg3＋lg2＝2lg2＋lg32lg2＋lg3＝1.</p><p>[点评]在解题中，对于常用对数要注意要10＝25,2＝105,5＝102的拆解与公式的灵活运用．</p><p>12．已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log2023.</p><p>[分析]本题是不同底数的对数之间的运算，解答本题可先利用换底公式化成同底的对数，然后根据对数的运算法则求解．</p><p>[解析]解法一：log189＝a,18b＝5，log185＝b，</p><p>log2023＝log2023log2023＝log2023log20232＝log189＋log2023＋log182</p><p>＝a＋b1＋log20239＝a＋b2－a.</p><p>解法二：∵log189＝a,18b＝5，log185＝b，</p><p>log2023＝log2023log20239＝log189＋log2023log2023－log189＝a＋b2－a.</p><p>解法三：∵log189＝a,18b＝5，lg9＝alg18，lg5＝blg18.</p><p>log2023＝lg45lg36＝lg95lg2023＝lg9＋lg52lg18－lg9</p><p>＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a＋b2－a.</p>
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