高中数学指数函数的性质的应用过关检测试题及答案
<p>训练18 指数函数的性质的应用</p><p>基础巩固 站起来，拿得到！</p><p>1.设a、b满足0b1,下列不等式中正确的是( )</p><p>A.aa B.ba C.aa D.bbab</p><p>答案：C</p><p>解析：A、B不符合底数在(0,1)之间的单调性;</p><p>C、D指数相同,底小值小.故选C.</p><p>2.若01,则函数y=ax与y=(a-1)x2的图象可能是( )</p><p>答案：D</p><p>解析：当01时,y=ax为减函数,a-10,</p><p>所以y=(a-1)x2开口向下,故选D.</p><p>3.设指数函数f(x)=ax(a0且a1),则下列等式中不正确的是( )</p><p>A.f(x+y)=f(x)f(y) B.f(x-y)=</p><p>C.f(nx)=［f(x)］n D.f［(xy)n］=［f(x)］n［f(y)］n(nN*)</p><p>答案：D</p><p>解析：易知A、B、C都正确.</p><p>对于D,f［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n［f(y)］n=(ax)n(ay)n=anx+ny,一般情况下D不成立.</p><p>4.设a= ,b= ,c= ,则a、b、c的大小关系是( )</p><p>A.cb B.ca C.bc D.ba</p><p>答案：B</p><p>解析：a= =b,</p><p>b= =c.</p><p>ac.</p><p>5.设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)=__________________.</p><p>答案：1</p><p>解析：令f-1(0)=a,则f(a)=0即有4a-22a=0.?</p><p>2a(2a-2)=0,而2a0,</p><p>2a=2得a=1.</p><p>6.函数y=ax-3+4(a0且a1)的反函数的图象恒过定点__________________.</p><p>答案：(5,3)</p><p>解析：因y=ax的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=ax-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).</p><p>故其反函数过定点(5,3).</p><p>7.已知函数f(x)= .证明f(x)在R上是增函数.</p><p>证明：∵f(x)= ,</p><p>设x1R,</p><p>则f(x1)-f(x2)= .</p><p>∵y=10x是增函数,</p><p>0.</p><p>而 +10, +10,</p><p>故当x1x2时,f(x1)-f(x2)0,</p><p>即f(x1)f(x2).</p><p>所以f(x)是增函数.</p><p>能力提升 踮起脚,抓得住!</p><p>8.若定义运算a b= 则函数f(x)=3x 3-x的值域为( )</p><p>A.(0,1] B.［1,+) C.(0,+) D.(-,+)</p><p>答案：A</p><p>解析：当3x3-x,即x0时,f(x)=3-x(0,1］;</p><p>当3x3-x,即x0时,f(x)=3x(0,1).</p><p>f(x)= 值域为(0,1).</p><p>9.函数y=ax与y=-a-x(a1)的图象( )</p><p>A.关于x轴对称 B.关于y轴对称</p><p>C.关于原点对称 D.关于直线y=-x对称</p><p>答案：C</p><p>解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.</p><p>10.当x［-1,1］时,函数f(x)=3x-2的值域为__________________.</p><p>答案：［- ,1］</p><p>解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.</p><p>11.设有两个命题:(1)关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a的取值范围是_________________.</p><p>答案：(-,-2)</p><p>解析：(1)为真命题 =(2a)2-16a2.</p><p>(2)为真命题 5-2a2.</p><p>若(1)假(2)真,则a(-,-2].</p><p>若(1)真(2)假,则a(-2,2)［2,+］= .</p><p>故a的取值范围为(-,-2).</p><p>12.求函数y=4-x-2-x+1,x［-3,2］的最大值和最小值.</p><p>解：设2-x=t,由x［-3,2］得t［ ,8］,于是y=t2-t+1=(t- )2+ .</p><p>当t= 时,y有最小值 .</p><p>这时x=1.</p><p>当t=8时,y有最大值57.</p><p>这时x=-3.</p><p>13.已知关于x的方程2a2x-2-7ax-1+3=0有一个根是2,求a的值和方程其余的根.</p><p>解：∵2是方程2a2x-2-9ax-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a= 或a=4.</p><p>(1)当a= 时,原方程化为2( )2x-2-9( )x-1+4=0. ①</p><p>令y=( )x-1,方程①变为2y2-9y+4=0,</p><p>解得y1=4,y2= .</p><p>( )x-1=4 x=-1,</p><p>( )x-1= x=2.</p><p>(2)当a=4时,原方程化为242x-2-94x-1+4=0. ②</p><p>令t=4x-1,则方程②变为2t2-9t+4=0.</p><p>解得t1=4,t2= .</p><p>4x-1=4 x=2,</p><p>4x-1= x=- .</p><p>故方程另外两根是当a= 时,x=-1;</p><p>当a=4时,x=- .</p><p>拓展应用 跳一跳，够得着！</p><p>14.函数y= 的单调递增区间是( )</p><p>A.［1,2］ B.［2,3］ C.(-,2] D.［2,+)</p><p>答案：D</p><p>解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t单调递增,t=x2-4x+3在x［2,+)上递增,故所求的递增区间为［2,+).</p><p>15.已知f(x)=3x-b(24,b为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f2(x)-2f(x)的值域为( )</p><p>A.［-1,+) B.［-1,63)</p><p>C.［0,+) D.(0,63］</p><p>答案：B</p><p>解析：由f(2)=1,得32-b=1,b=2,f(x)=3x-2.</p><p>F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1.</p><p>令t=3x-2,24.</p><p>g(t)=(t-1)2-1,t［1,9］.</p><p>所求值域为［-1,63］.</p><p>16.已知函数f(x)=ax+ (a1).</p><p>(1)证明函数f(x)在(-1,+)上为增函数;</p><p>(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.</p><p>证明：(1)任取x1、x2(-1,+),不妨设x1x2,</p><p>则x1-x2 1且 0.</p><p>0.</p><p>又x1+10,x2+10,</p><p>=</p><p>= 0.</p><p>f(x1)-f(x2)=( )+( )0,</p><p>即f(x1)f(x2).</p><p>f(x)在（-1,+)上是单调增函数.</p><p>(2)假设存在x0-1)满足f(x0)=0,</p><p>则 .</p><p>又01,</p><p>01,</p><p>即 2与x00矛盾. f(x)=0没有负数根.</p>
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