高中数学反函数的概念过关检测试题及答案
<p>训练14 反函数的概念</p><p>基础巩固 站起来，拿得到！</p><p>1.函数y= 的反函数是( )</p><p>A.y= (xR且x-4) B.y= (xR且x3)</p><p>C.y= (xR且x D.y= (xR且x- )</p><p>答案：C</p><p>解析：由y= ,得x= .故所求反函数为y= (xR且x3).</p><p>2.函数y= 的反函数是( )</p><p>A.y= B.y=</p><p>C.y= D.y=</p><p>答案：A</p><p>解析：当x0时,由y=x2,得x=- .故反函数为y=f-1(x)=- (x0).</p><p>当x0时,由y=- x,得x=-2y.</p><p>故反函数为y=f-1(x)=-2x(x0).</p><p>y=f-1(x)=-x,x0,</p><p>-2x,x0.</p><p>3.若函数f(x)的反函数f-1(x)=1+x2(x0),则f(2)等于( )</p><p>A.1 B.-1 C.1和-1 D.5</p><p>答案：B</p><p>解法一:由y=1+x2(x0),得x=- .故f(x)=- (x0),f(2)=- =-1.</p><p>解法二:令1+x2=2(x0),则x=-1,即f(2)=-1.</p><p>4.若函数y=f(x)的反函数是y=- (-10),则原函数的定义域是( )</p><p>A.(-1,0) B.［-1,1］ C.［-1,0］ D.［0,1］</p><p>答案：C</p><p>解析：∵原函数的定义域为反函数的值域,</p><p>又-10,</p><p>01,即y［-1,0］.</p><p>5.设y= +m和y=nx-9互为反函数,那么m、n的值分别是( )</p><p>A.-6,3 B.2,1 C.2,3 D.3,3</p><p>答案：D</p><p>解析：求出y= +m的反函数y=3x-3m,再与y=nx-9对比系数即得.</p><p>6.已知f(x)=x2-1(x2),则f-1(4)=______________.</p><p>答案：</p><p>解析：因为f(x)=x2-1,x2,所以其反函数为f-1(x)= (x3).</p><p>所以f-1(4)= .</p><p>7.求下列函数的反函数:</p><p>(1)y=- (-1</p><p>(2)y=-x2-2x+1(1</p><p>(3)y=</p><p>解：(1)由y=- ,得y2=1-x2,</p><p>即x2=1-y2.</p><p>∵-10,</p><p>x=- .</p><p>又∵y=- ,-10,</p><p>-10.</p><p>所求反函数为y=- (-10).</p><p>(2)由y=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,得(x+1)2=2-y.</p><p>∵12,</p><p>23.</p><p>x+1= ,即x=-1+ .</p><p>反函数为y=-1+ (-7-2).</p><p>(3)①由y=x2(x0),得x=- ,即y=x2(x0)的反函数为y=- (x0).</p><p>②由y=-x-1(x0),得x=-y-1,即y=-x-1(x0)的反函数为y=-x-1(x-1).</p><p>由①②可知f(x)= 的反函数为f-1(x)=</p><p>能力提升 踮起脚,抓得住!</p><p>8.函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是( )</p><p>A.［0,+］) B.(-,0)] C.［-4,4］ D.［2,4］</p><p>答案：C</p><p>解法一:函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在［0,+),(-,0］,［2,4］上单调.</p><p>解法二:当x=4时,y=8,知不是一一映射.</p><p>9.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( )</p><p>A.a B.a=b C.a D.无法确定</p><p>答案：A</p><p>解析：∵f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,f(3)f(2),f-1(3)f-1(2),即ba.</p><p>10.已知f(x)=3x-2,则f-1［f(x)］=__________________;f［f-1(x)］=__________________.</p><p>答案：x x</p><p>解析：∵f-1(x)= ,</p><p>f-1［f(x)］= ［(3x-2)+2］=x,f［f-1(x)］=3 -2=x.</p><p>一般地,f［f-1(x)］与f-1［f(x)］的表达式总为x,但两个函数定义域不一定相同,故不一定是同一个函数.</p><p>11.函数f(x)=ax2+(a+2)x-1在xR上存在反函数,则f-1(1)=_______________.</p><p>答案：1</p><p>解析：依题意a=0,f(x)=2x-1,令f-1(1)=b,则f(b)=1,即2b-1=1 b=1.</p><p>12.已知函数f(x)= (x ).</p><p>(1)求它的反函数;</p><p>(2)求使f-1(x)=f(x)的实数a的值;</p><p>(3)当a=-1时,求f-1(2).</p><p>解：(1)设y= ,∵x-a,反解得(y-3)x=2-ay.</p><p>若y=3,则a= 与a 矛盾.</p><p>y3.x= .</p><p>f-1(x)= (x ).</p><p>(2)当f-1(x)=f(x)时,有 ,</p><p>整理得(a+3)x2+(a2-9)x-2(a+3)=0.</p><p>a+3=0,即a=-3.</p><p>(3)当a=-1时,由(1)知f-1(x)= .</p><p>f-1(2)=-4.</p><p>13.已知f(x)=( )2(x1),</p><p>(1)求f(x)的反函数f-1(x),并求出反函数的定义域;</p><p>(2)判断并证明f-1(x)的单调性.</p><p>解：(1)设y=( )2 x= ,又x1,</p><p>y1,即f-1(x)= ,f-1(x)的定义域为［0,1］.</p><p>(2)f-1(x)在［0,1)上单调递增.</p><p>证明如下:设0x21,0 1.</p><p>f-1(x1)-f-1(x2)= 0.f-1(x)在［0,1］上单调递增.</p><p>拓展应用 跳一跳,够得着!</p><p>14.要使函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上存在反函数,则a的取值范围是( )</p><p>A.a B.a C.a1或a D.12</p><p>答案：C</p><p>解析：由已知得函数y=x2-2ax+1在区间［1,2］上单调,则a1或a2.</p><p>15.已知函数y=f(x-1)的反函数为y=f-1(x-1),且f(1)=2,则f(2)的值为______________.</p><p>答案：1</p><p>解析：y=f-1(x-1) x-1=f(y) x=f(y)+1,</p><p>故y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1.</p><p>故f(x-1)=f(x)+1,即f(x)=f(x-1)-1,</p><p>则f(2)=f(1)-1=1.</p><p>16.(1)已知f(x)= (a、b、c是常数)的反函数是f-1(x)= ,求a+b+c的值.</p><p>(2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax2+b(x0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f-1(x).</p><p>解：(1)设y= ,解得x= ,</p><p>即f-1(x)= ,</p><p>因此, ,</p><p>由对应项系数相等得a=3,b=5,c=-2,</p><p>a+b+c=6.</p><p>(2)点P(-1,-2)在f(x)=ax2+b上,则-2=a(-1)2+b, ①</p><p>又∵点P(-1,-2)在f-1(x)上,</p><p>点(-2,-1)在f(x)上.</p><p>-1=a(-2)2+b. ②</p><p>由①②联立,解得a= ,b=- .</p><p>f(x)= x2- (x0).</p><p>f-1(x)=- (x- ).</p>
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