高中数学数列达标测试题及答案
<p>高二数学周考卷</p><p>一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)</p><p>1.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则am+cn等于 ()</p><p>A.4 B.3 C.2 D.1</p><p>2.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为 ()</p><p>A.4 B.14 C.-4 D.-14</p><p>3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6= ()</p><p>A.2 B.73 C.83 D.3</p><p>4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且15Sn=an-1,则a2等于 ()</p><p>A.-54 B.54 C.516 D.2023</p><p>5.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=()</p><p>A.7 B.8 C.15 D.16</p><p>6.若数列{an}的通项公式为an=n(n-1)…2023n,则{an}为 ()</p><p>A.递增数列 B.递减数列 C.从某项后为递减 D.从某项后为递增</p><p>7.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{Snn}的前11项和为()</p><p>A.-45 B.-50 C.-55 D.-66</p><p>8.设数列{an}的前n项和为Sn, 已知 ,且 ( nN*), 则过点P(n, ) 和Q(n+2, )( nN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 ( )</p><p>A.(2, ) B.(-1, -1) C.( , -1) D.( )</p><p>9.在等比数列{an}中,若a3a5a7a9a11=32,则a29a11的值为 ()</p><p>A.4 B.2 C.-2 D.-4</p><p>10.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则使得anbn为整数的正整数n的个数是 ()</p><p>A.2 B.3 C.4 D.5</p><p>11.已知{an}是递增数列,对任意的nN*,都有an=n2+n恒成立,则的取值范围是 ()</p><p>A.(-72,+) B.(0,+)</p><p>C.(-2,+) D.(-3,+)</p><p>12.已知数列{an}满足an+1=12+an-a2n,且a1=12,则该数列的前2 008项的和等于 ()</p><p>A.1 506 B.3 012 C.1 004 D.2 008</p><p>二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)</p><p>13.已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时,若a6=1,则m所有可能的取值为________.</p><p>14.已知数列{an}满足a1=12,an=an-1+1n2-1(n2),则{an}的通项公式为________.</p><p>15.已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn(nN*).若a11,a43,S39,则通项公式an=________.</p><p>16.下面给出一个“直角三角形数阵”:</p><p>14</p><p>12,14</p><p>34,38,316</p><p>…</p><p>满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*),则a83=________.</p><p>高二年级周考数学答题卡</p><p>一、选择题(512=60分)</p><p>题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>答案</p><p>二、填空题(44=16)</p><p>13 14</p><p>15 16</p><p>三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)</p><p>17.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.</p><p>⑴求数列{an}与{bn}的通项公式.</p><p>⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有 ,求c1+c2+c3+…+c2023的值.</p><p>18.(本小题满分12分)已知数列{an}中,其前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列(nN*).</p><p>(1)求数列{an}的通项公式;</p><p>(2)求Sn57时n的取值范围.</p><p>19.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a0),不等式f(x)0的解集有且只有一个元素,设数列{an}的前n项和为Sn=f(n).</p><p>(1)求数列{an}的通项公式;</p><p>(2)设各项均不为0的数列{cn}中,满足cici+10的正整数i的个数称作数列{cn}的变号数,令cn=1-aan(nN*),求数列{cn}的变号数.</p><p>20.(本小题满分12分)已知数列{an}满足:a1=1,a2=12,且an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,nN*.</p><p>(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;</p><p>(2)设bn=a2n-1a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.</p><p>21.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Snn)在直线y=12x+112上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(nN*),b3=11,且其前9项和为153.</p><p>(1)求数列{an},{bn}的通项公式;</p><p>(2)设cn=3(2an-11)(2bn-1),数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>k57对一切nN*都成立的最大正整数k的值.</p><p>22.(本小题满分14分)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n2,nN).</p><p>(1)试判断数列{1an}是否为等差数列;</p><p>(2)若an+1an+1,对任意n2的整数恒成立,求实数的取值范围.</p><p>参考答案</p><p>一、 选择题</p><p>CABDCDDDBDDA</p><p>二、 填空题</p><p>13、4,5,2023、an=54-2n+12n(n+1)15、n+116、12</p><p>三、解答题</p><p>17.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d 解得d=2,an=2n-1,bn=3n-1.</p><p>⑵当n=1时,c1=3 当n2时,∵故</p><p>18.解:(1)∵n,an,Sn成等差数列,</p><p>Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1)(n2),</p><p>an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1(n2),</p><p>an=2an-1+1(n2),</p><p>两边加1得an+1=2(an-1+1)(n2),</p><p>an+1an-1+1=2(n2).</p><p>又由Sn=2an-n得a1=1.</p><p>数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,</p><p>an+1=22n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.</p><p>(2)由(1)知,Sn=2an-n=2n+1-2-n,</p><p>Sn+1-Sn=2n+2-2-(n+1)-(2n+1-2-n)</p><p>=2n+1-10,</p><p>Sn+1Sn,{Sn}为递增数列.</p><p>由题设,Sn57,即2n+1-n59.</p><p>又当n=5时,26-5=59,n5.</p><p>当Sn57时,n的取值范围为n6(nN*).</p><p>19.解:(1)由于不等式f(x)0的解集有且只有一个元素,</p><p>=a2-4a=0a=4,</p><p>故f(x)=x2-4x+4.</p><p>由题Sn=n2-4n+4=(n-2)2</p><p>则n=1时,a1=S1=1;</p><p>n2时,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5,</p><p>故an=1n=1,2n-52.</p><p>(2)由题可得,cn=-3n=11-42n-52.</p><p>由c1=-3,c2=5,c3=-3,</p><p>所以i=1,i=2都满足cici+10,</p><p>当n3时,cn+1cn,且c4=-13,</p><p>同时1-42n-5n5,</p><p>可知i=4满足ci、ci+10,n5时,均有cncn+10.</p><p>满足cici+10的正整数i=1,2,4,故数列{cn}的变号数为3.</p><p>20.解:(1)经计算a3=3,a4=14,a5=5,a6=18.</p><p>当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列,</p><p>a2n-1=a1+(n-1)2=2n-1.</p><p>当n为偶数时,an+2=12an,即数列{an}的偶数项成等比数列,</p><p>a2n=a2(12)n-1=(12)n.</p><p>因此,数列{an}的通项公式为an=n(n为奇数),(12)n2(n为偶数).</p><p>(2)∵bn=(2n-1)(12)n,</p><p>Sn=112+3(12)2+5(12)3+…+(2n-3)(12)n-1+(2n-1)(12)n, ①</p><p>12Sn=1(12)2+3(12)3+5(12)4+…+(2n-3)(12)n+(2n-1)(12)n+1, ②</p><p>①②两式相减,</p><p>得12Sn=112+2[(12)2+(12)3+…+(12)n]-(2n-1)(12)n+1</p><p>=12+121-12-(2n-1)(12)n+1</p><p>=32-(2n+3)(12)n+1.</p><p>Sn=3-(2n+3)(12)n.</p><p>21.解:(1)由已知得Snn=12n+112,</p><p>Sn=12n2+112n.</p><p>当n2时,</p><p>an=Sn-Sn-1</p><p>=12n2+112n-12(n-1)2-112(n-1)=n+5;</p><p>当n=1时,a1=S1=6也符合上式.</p><p>an=n+5.</p><p>由bn+2-2bn+1+bn=0(nN*)知{bn}是等差数列,</p><p>由{bn}的前9项和为153,可得9(b1+b9)2=9b5=153,</p><p>得b5=17,又b3=11,</p><p>{bn}的公差d=b5-b32=3,b3=b1+2d,</p><p>b1=5,</p><p>bn=3n+2.</p><p>(2)cn=3(2n-1)(6n+3)=12(12n-1-12n+1),</p><p>Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)</p><p>=12(1-12n+1).</p><p>∵n增大,Tn增大,</p><p>{Tn}是递增数列.</p><p>TnT1=13.</p><p>Tn>k57对一切nN*都成立,只要T1=13>k57,</p><p>k<19,则kmax=18.</p><p>22.解:(1)∵a10,an0,由已知可得1an-1an-1=3(n2),</p><p>故数列{1an}是等差数列.</p><p>(2)将an=1bn=13n-2代入an+1an+1并整理得(1-13n-2)3n+1,</p><p>(3n+1)(3n-2)3n-3,原命题等价于该式对任意n2的整数恒成立.</p><p>设Cn=(3n+1)(3n-2)3n-3,则Cn+1-Cn=(3n+1)(3n-4)3n(n-1)0,故Cn+1Cn,</p><p>Cn的最小值为C2=283,</p><p>的取值范围是(-,283].</p>
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