高中数学双曲线检测试题及答案
<p>高二数学双曲线苏教版</p><p>【本讲教育信息】</p><p>一. 教学内容：</p><p>双曲线</p><p>二. 重点、难点：</p><p>重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．</p><p>难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．</p><p>三. 主要知识点</p><p>1、双曲线的定义：</p><p>平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．</p><p>说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：</p><p>（1）距离之差的绝对值.</p><p>（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．</p><p>当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；</p><p>当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；</p><p>当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；</p><p>当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.</p><p>2、标准方程的推导</p><p>（1）建系设点</p><p>建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.</p><p>以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．</p><p>（2）点的集合</p><p>由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.</p><p>（3）代数方程</p><p>（4）化简方程 （其中c2＝a2+b2）</p><p>3、两种双曲线性质的比较</p><p>焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线</p><p>几何</p><p>条件 与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离）</p><p>标准</p><p>方程 － ＝1（a0，b0）</p><p>－ ＝1（a0，b0）</p><p>图形</p><p>范围 |x|a |y|a</p><p>对称性 x轴，y轴，原点</p><p>顶点</p><p>坐标 （a，0） （0，a）</p><p>实轴</p><p>虚轴 x轴，实轴长2a</p><p>y轴，虚轴长2b y轴，实轴长2a</p><p>x轴，虚轴长2b</p><p>焦点</p><p>坐标 （c，0）c＝</p><p>（0，c）c＝</p><p>离心率</p><p>e＝ ， e 1</p><p>渐近线 y＝ x</p><p>y＝ x</p><p>4、方法小结</p><p>（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：</p><p>①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；</p><p>②已知渐近线的方程bxay＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝（0），根据其他条件确定的值.若求得＞0，则焦点在x轴上，若求得＜0，则焦点在y轴上．</p><p>（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．</p><p>（3）双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2+b2，若记AOB＝，则e＝ ＝ ．</p><p>（4）参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2＝a2+b2；在方程Ax2+By2＝C中，只要AB＜0且C0，就是双曲线的方程．</p><p>（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是＝0，则可把双曲线方程表示为 － ＝（0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程．</p><p>【典型例题】</p><p>例1. 根据下列条件，求双曲线方程：</p><p>（1）与双曲线 － ＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2 ）；</p><p>（2）与双曲线 － ＝1有公共焦点，且过点（3 ，2）.</p><p>（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P（3， ）Q（ ，5）．</p><p>剖析：设双曲线方程为 － ＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.</p><p>解法一：（1）设双曲线的方程为 － ＝1，</p><p>由题意得</p><p>解得a2＝ ，b2＝4．</p><p>所以双曲线的方程为 － ＝1．</p><p>（2）设双曲线方程为 － ＝1.</p><p>由题意易求c＝2 ．</p><p>又双曲线过点（3 ，2），</p><p>－ ＝1.</p><p>又∵a2+b2＝（2 ）2，</p><p>a2＝12，b2＝8．</p><p>故所求双曲线的方程为 － ＝1．</p><p>解法二：（1）设所求双曲线方程为 － ＝（0），</p><p>将点（－3，2 ）代入得＝ ，</p><p>所以双曲线方程为 － ＝ ．</p><p>（2）设双曲线方程为 － ＝1，</p><p>将点（3 ，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为 － ＝1．</p><p>评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝（0）．与 － ＝1同焦点的可设为 － ＝1</p><p>（3）设双曲线方程为 （mn0）</p><p>将PQ两点坐标代入求得m＝－16，n＝－9.</p><p>故所求方程为</p><p>说明：若设 － ＝1或 － ＝1两种情况求解，比较繁琐．</p><p>例2. △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，B（－1，0），C（1，0），求满足sinC－sinB＝ sinA时，顶点A的轨迹方程，并画出图形．</p><p>解：根据正弦定理得c－b＝ a＝1</p><p>即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线</p><p>又c＝1，a＝ ，b＝c2－a2＝</p><p>故双曲线方程为 （x ）</p><p>例3. （2023年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围．</p><p>剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.</p><p>解：设点P的坐标为（x，y），依题意得 ＝2，即y＝2x（x0）． ①</p><p>因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN
页:
[1]