高中数学利用导数求单调区间测试题及答案
<p>高二数学（理）利用导数求单调区间、极值人教实验版（A）</p><p>【本讲教育信息】</p><p>一. 教学内容：</p><p>利用导数求单调区间、极值</p><p>二. 重点、难点：</p><p>1. 在某区间（ ）内，若 0那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增，若 ，那么函数 在这个区间内单调递减。</p><p>2. ，在 ，则称 为 的极大值。</p><p>3. ， 在 ，则称 为 的极小值。</p><p>4. 极值是一个局部性质</p><p>5. 时， 是 为极值的既不充分也不必要条件。</p><p>【典型例题】</p><p>[例1] 求下列函数单调区间</p><p>（1）</p><p>解：</p><p>（2）</p><p>（3）</p><p>定义域为</p><p>（4）</p><p>解：</p><p>[例2] 求满足条件的 的取值范围。</p><p>（1） 为R上的增函数</p><p>解：</p><p>时， 也成立</p><p>（2） 为R上增函数 成立</p><p>成立</p><p>（3） 为R上增函数</p><p>[例3] 证明下面各不等式</p><p>（1）</p><p>证：① 令</p><p>在任取</p><p>即：</p><p>② 令</p><p>在（0，+ ）上任取</p><p>即</p><p>（2） 令</p><p>[例4] 求下列函数的极值。</p><p>（1）</p><p>解： x=1</p><p>[例5] 在x=1处取得极值10，求 。</p><p>解：或 （舍）</p><p>[例6] 曲线 ，过P（1，1）在原点取得极小值。求此函数的极大值的最小值。</p><p>解：由已知</p><p>令</p><p>（－ ，－2）</p><p>－2 （－2，0）</p><p>－ 0 +</p><p>[例7] 已知 在区间[－1，1]上是增函数，求实数 的取值范围。</p><p>解： ∵ 在[－1，1]上是增函数</p><p>对 恒成立，即 对 恒成立</p><p>设 ，则 解得</p><p>[例8] 设 是R上的偶函数，（1）求 的值；（2）证明 在（0，+ ）上是增函数。</p><p>解：（1）依题意，对一切 ，有 ，即</p><p>即 ，所以对一切 恒成立</p><p>由于 不恒为0，所以 ，即 ，又因为 ，所以</p><p>（2）证明：由 ，得</p><p>当 时，有 ，此时 ，所以 在（0，+ ）内是增函数</p><p>[例9] 已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1， ）处的切线方程 ，（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间。</p><p>解：（1）由 的图象经过P（0，2），知 ，所以 ，</p><p>由在点M（ ）处的切线方程为</p><p>即解得</p><p>故所求的解析式是</p><p>（2） 令 ，解得</p><p>当 或 时，</p><p>当 时，</p><p>故 在 内是增函数，在 内是减函数</p><p>在 内是增函数</p><p>[例10] 已知函数 是R上的奇函数，当 时， 取得极值－2。（1）求 的单调区间和极大值。（2）证明对任意 ，不等式 恒成立。</p><p>解：（1）由奇函数定义，应有 ，</p><p>即</p><p>因此</p><p>由条件 为 的极值，必有 ，故 ，解得</p><p>因此，</p><p>当 时， ，故 在单调区间 上是增函数</p><p>当 时， ，故 在单调区间（－1，1）上是减函数</p><p>当 时， ，故 在单调区间（1， ）上是增函数</p><p>所以 在 处取得极大值，极大值为</p><p>（2）解：由（1）知， 是减函数，且 在[－1，1]上的最大值 在[－1，1]上的最小值</p><p>所以对任意 ，恒有</p><p>【模拟试题】</p><p>1. 两曲线 与 相切于点（1，－1）处，则 值分别为（ ）</p><p>A. 0，2 B. 1，－3 C. －1，1 D. －1，－1</p><p>2. 设函数 ，则 （ ）</p><p>A. 在（－ ，+ ）单调增加</p><p>B. 在（－ ，+ ）单调减少</p><p>C. 在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加</p><p>D. 在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少</p><p>3. 当 时，有不等式（ ）</p><p>A.</p><p>B.</p><p>C. 当 时， ，当 时，</p><p>D. 当 时， ，当 时，</p><p>4. 若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（ ）</p><p>A. 极大值一定是最大值，极小值一定是最小值</p><p>B. 极大值必大于极小值</p><p>C. 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值</p><p>D. 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值</p><p>5. 设 在 可导，则 等于（ ）</p><p>A. B. C. D.</p><p>6. 下列求导运算正确的是（ ）</p><p>A. B.</p><p>C. D.</p><p>7. 函数 有极值的充要条件是（ ）</p><p>A. B. C. D.</p><p>8. 设 、 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 时，</p><p>，且 ，则不等式 的解集是（ ）</p><p>A. B.</p><p>C. D.</p><p>9. 设函数 的图象如图所示，且与 在原点相切，若函数的极小值为－4，（1）求 的值；（2）求函数的递减区间。</p><p>10. 是否存在这样的k值，使函数 在（1，2）上递减，在（2，－ ）上递增。</p><p>11. 设函数</p><p>（1）若导数 ；并证明 有两个不同的极值点 ；</p><p>（2）若不等式 成立，求 的取值范围。</p><p>12. 已知过函数 的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。</p><p>（1）求 的值；</p><p>（2）求A的取值范围，使不等式 对于 恒成立。令 = ，是否存在一个实数 ，使得当 时， 有最大值1？</p><p>【试题答案】</p><p>1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. D 7. C 8. D</p><p>9. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点</p><p>，又图象与x轴相切于（0，0）点，</p><p>，得，</p><p>当 时， ，当 时，</p><p>当 时，函数有极小值－4，得</p><p>（2） ，解得</p><p>递减区间是（0，2）</p><p>10. 解析： ，由题意，当 时，</p><p>当 时， 由函数 的连续性可知</p><p>即 得 或</p><p>验证：当 时，</p><p>若 ， ，若 ，符合题意</p><p>当 时，</p><p>显然不合题意，综上所述，存在 ，满足题意</p><p>11. 解：（1）</p><p>令 得方程</p><p>因 ，故方程有两个不同实根</p><p>不妨设 ，由 可判断 的符号如下：</p><p>当 时， ；当 时， ；当 时，</p><p>因此 是极大值点， 是极小值点</p><p>（2）因 ，故得不等式</p><p>即</p><p>又由（1）知 代入前面不等式，两边除以 ，并化简得</p><p>解不等式得 或 （舍去）</p><p>因此，当 时，不等式 0成立</p><p>12. 解：（1） ，依题意得</p><p>，把B（1，b）代入得</p><p>（2）令 得 或</p><p>∵</p><p>要使 对于 恒成立，则 的最大值</p><p>（1）已知</p><p>∵</p><p>① 当 时， ，即在 上为增函数</p><p>的最大值 ，得 （不合题意，舍去）</p><p>② 当 ， ，令 ，得</p><p>列表如下：</p><p>（0， ）</p><p>+ 0 －</p><p>极大值</p><p>在 处取最大值</p><p>③ 当 时，在 上为减函数</p><p>在 上为增函数</p><p>存在一个 ，使 在 上有最大值1。</p>
页:
[1]