高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题及答案
<p>高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版</p><p>【本讲教育信息】</p><p>一. 教学内容：</p><p>函数的单调性与函数的奇偶性</p><p>二. 教学目标：</p><p>（1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题。</p><p>（2）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。</p><p>三. 教学重点：</p><p>函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。</p><p>四. 教学难点：</p><p>函数单调性与奇偶性的运用。</p><p>五. 知识归纳：</p><p>（一）概念</p><p>1. 函数单调性的定义：对于函数 的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ，⑴若当时，都有，则说 在这个区间上是增函数；⑵若当时，都有，则说 在这个区间上是减函数.</p><p>2. 函数奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。</p><p>如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。</p><p>3. 奇偶函数的性质：</p><p>（1）定义域关于原点对称；</p><p>（2）偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；</p><p>4. 为偶函数 .</p><p>5. 若奇函数 的定义域包含 ，则 .</p><p>（二）主要方法：</p><p>1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；</p><p>2. 判断函数的单调性的方法有：</p><p>（1）用定义；</p><p>（2）用已知函数的单调性；</p><p>（3）利用函数的导数.</p><p>3. 注意函数单调性的应用；</p><p>4. 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；</p><p>5. 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；</p><p>6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ， 。</p><p>7. 设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇.</p><p>【典型例题】</p><p>例1. 判断下列各函数的奇偶性：</p><p>（1） ；</p><p>（2） ；</p><p>（3） .</p><p>解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称</p><p>为非奇非偶函数。</p><p>（2）由 得定义域为</p><p>∵</p><p>为偶函数</p><p>（3）当 时， ，则 ，</p><p>当 时， ，则 ，</p><p>综上所述，对任意的 ，都有 ， 为奇函数.</p><p>例2. （1）求函数 的单调区间；</p><p>（2）已知 若 试确定 的单调区间和单调性.</p><p>解：（1）单调增区间为： 单调减区间为 ，</p><p>（2） ， ，</p><p>令 ，得 或 ，令 ， 或</p><p>单调增区间为 ；单调减区间为</p><p>例3. 已知函数 对一切 ，都有</p><p>（1）求证： 是奇函数；</p><p>（2）若 ，用 表示 。</p><p>解：（1）显然 的定义域是 ，它关于原点对称。在 中，</p><p>令 ，得 ，令 ，得</p><p>，</p><p>，即</p><p>是奇函数.</p><p>（2）由 ， 及 是奇函数，</p><p>得 。</p><p>例4. （1）已知 是 上的奇函数，且当 时， ，则 的解析式为 。</p><p>（2）（《高考 计划》考点3“智能训练第4题”）已知 是偶函数， ，当 时， 为增函数，若 ，且 ，则 （ ）</p><p>. .</p><p>. .</p><p>例5. 设 ， 是 上的偶函数。</p><p>（1）求 的值；</p><p>（2）证明 在 上为增函数。</p><p>解：（1）依题意，对一切 ，有</p><p>即</p><p>对一切 成立，则</p><p>∵ ， 。</p><p>（2）设 ，则</p><p>，</p><p>由</p><p>得 ，</p><p>即 ， 在 上为增函数。</p><p>例6. 已知函数 的定义域是 的一切实数，对定义域内的任意 都有 ，且当 时 。</p><p>（1）求证： 是偶函数；</p><p>（2） 在 上是增函数；</p><p>（3）解不等式 。</p><p>解：（1）令 ，得</p><p>，令 ，得 ，</p><p>是偶函数。</p><p>（2）设</p><p>则</p><p>∵ ， ，</p><p>即 ，</p><p>在 上是增函数。</p><p>（3） ，</p><p>∵ 是偶函数，不等式 可化为</p><p>又∵函数在 上是增函数</p><p>解得： ，</p><p>即不等式的解集为 。</p><p>例7. 函数 在 上是增函数，求 的取值范围。</p><p>分析：由函数 在 上是增函数可以得到两个信息：</p><p>①对任意的 总有 ；</p><p>②当 时， 恒成立。</p><p>解：∵函数 在 上是增函数</p><p>对任意的 有</p><p>即</p><p>得</p><p>即</p><p>∵ ， ，</p><p>∵ ，要使 恒成立，只要 ；</p><p>又∵函数 在 上是增函数， ，</p><p>即 ，综上 的取值范围为 .</p><p>另解：（用导数求解）令 ，函数 在 上是增函数</p><p>在 上是增函数， ，</p><p>，且 在 上恒成立，得 。</p><p>例8. 设 为实数，函数 ， 。</p><p>（1）讨论 的奇偶性；</p><p>（2）求 的最小值。</p><p>解：（1）当 时， ，此时 为偶函数；</p><p>当 时， ，</p><p>此时函数 既不是奇函数也不是偶函数.</p><p>（2）①当 时，函数 ，</p><p>若 ，则函数 在 上单调递减</p><p>函数 在 上的最小值为 ；</p><p>若 ，函数 在 上的最小值为 ，且 .</p><p>②当 时，函数 ，</p><p>若 ，则函数 在 上的最小值为 ，且 ；</p><p>若 ，则函数 在 上单调递增</p><p>函数 在 上的最小值为</p><p>综上，当 时，函数 的最小值是 ，当 时，函数 的最小值是 ，当 ，函数 的最小值是 。</p><p>【模拟试题】</p><p>1. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是（ ）</p><p>A. 1 B. 2 C. 3 D. 4</p><p>2. 函数F(x)=(1+2/(2x-1))f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（ ）</p><p>A. 是偶函数 B. 是奇函数</p><p>C. 既是奇函数，又是偶函数 D. 非奇非偶函数</p><p>3. 已知函数f(x)=x2+lg(x+ )，若f(a)=M，则f(-a)等于（ ）</p><p>A. M-2a2 B. 2a2-M C. 2M-a2 D. a2-2M</p><p>4. 若对正常数m和任意实数x，等式 成立，则下列说法正确的是（ ）</p><p>A. 函数 是周期函数，最小正周期为2m</p><p>B. 函数 是奇函数，但不是周期函数</p><p>C. 函数 是周期函数，最小正周期为4 m</p><p>D. 函数 是偶函数，但不是周期函数</p><p>5. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在 上递减，那么一定有（ ）</p><p>A. B.</p><p>C. D.</p><p>6. 已知y=f(x)是偶函数，且在 上是减函数，则f(1－x2)是增函数的区间是（ ）</p><p>A. B. C. D.</p><p>7. 函数y=loga|x+1|在(－1，0)上单调递减，则y在（－，－1）上是（ ）</p><p>A. 由负到正单调递增 B. 由正到负单调递减</p><p>C. 单调递减且恒为正数 D. 时增时减</p><p>8. 设函数f(x)= (a0)，求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是减函数，则a的取值范围是</p><p>12. 设奇函数f(x)在 kZ</p><p>11. （1，2）</p><p>12. －2 -12 -1</p><p>13. 解：∵ 是以 为周期的周期函数</p><p>，</p><p>又∵ 是奇函数， ，</p><p>②当 时，由题意可设 ，</p><p>由 得 ， ，</p><p>③∵ 是奇函数， ，</p><p>又知 在 上是一次函数</p><p>可设 ，而 ，</p><p>，当 时， ，</p><p>从而当 时， ，故 时，</p><p>当 时，有 ，</p><p>当 时， ，</p><p>14. 解：（1）由已知汽车从甲地到乙地所用时间为 全程运输成本为</p><p>故所求函数及其定义域为</p><p>（2）依题意S，a，b，v都是正数，故有</p><p>由于v v ＞0，v －v ＞0，并且</p><p>又S＞0，所以 即</p><p>则当v=c时，y取最小值</p>
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