高中数学解析几何解答题(有答案)
<p>解析几何解答题</p><p>1、椭圆G: 的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知</p><p>F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为</p><p>(1)求此时椭圆G的方程;</p><p>(2)设斜率为k(k0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0, )、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.</p><p>解:(1)根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 …………………1分</p><p>故该椭圆中 即椭圆方程可为 ………3分</p><p>设H(x,y)为椭圆上一点,则</p><p>…………… 4分</p><p>若 ,则 有最大值 …………………5分</p><p>由 (舍去)(或b2+3b+927,故无解)…………… 6分</p><p>若 …………………7分</p><p>由 所求椭圆方程为 ………………… 8分</p><p>(1) 设 ,则由 两式相减得</p><p>……③又直线PQ直线m直线PQ方程为</p><p>将点Q( )代入上式得, ……④…………………11分</p><p>由③④得Q( )…………………12分</p><p>而Q点必在椭圆内部 ,</p><p>由此得 ,故当</p><p>时,E、F两点关于点P、Q的直线对称14分</p><p>2、已知双曲线 的左、右顶点分别为 ,动直线 与圆 相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 .</p><p>(Ⅰ)求 的取值范围,并求 的最小值;</p><p>(Ⅱ)记直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,那么, 是定值吗?证明你的结论.</p><p>解:(Ⅰ) 与圆相切, ……①</p><p>由 ,得 ,</p><p>,</p><p>,故 的取值范围为 .</p><p>由于 , 当 时, 取最小值 .6分</p><p>(Ⅱ)由已知可得 的坐标分别为 ,</p><p>,</p><p>,</p><p>由①,得 , 为定值.12分</p><p>3、已知抛物线 的焦点为F,点 为直线 与抛物线 准线的交点,直线 与抛物线 相交于 、 两点,点A关于 轴的对称点为D.</p><p>(1)求抛物线 的方程。</p><p>(2)证明:点 在直线 上;</p><p>(3)设 ,求 的面积。.</p><p>解:(1)</p><p>设 , , , 的方程为 .</p><p>(2)将 代人 并整理得 ,</p><p>从而</p><p>直线 的方程为 ,</p><p>即 令</p><p>所以点 在直线 上</p><p>(3)由①知,</p><p>因为 ,</p><p>故 ,解得</p><p>所以 的方程为</p><p>又由①知 故</p><p>4、已知椭圆的中心在坐标原点 ,焦点在 轴上,离心率为 ,点 (2,3)、 在该椭圆上,线段 的中点 在直线 上,且 三点不共线.</p><p>(I)求椭圆的方程及直线 的斜率;</p><p>(Ⅱ)求 面积的最大值.</p><p>解:(I)设椭圆的方程为 ,</p><p>则 ,得 , .</p><p>所以椭圆的方程为 .…………………3分</p><p>设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在),</p><p>设 ,则由 ,得</p><p>,由 ,得 ,</p><p>,设</p><p>,易知 ,</p><p>由OT与OP斜率相等可得 ,即 ,</p><p>所以椭圆的方程为 ,直线AB的斜率为 .……………………6分</p><p>(II)设直线AB的方程为 ,即 ,</p><p>由</p><p>得 ,</p><p>, .………………8分</p><p>. .</p><p>点P到直线AB的距离为 .</p><p>于是 的面积为</p><p>……………………10分</p><p>设 , ,其中 .</p><p>在区间 内, , 是减函数;在区间 内, , 是增函数.所以 的最大值为 .于是 的最大值为18.…………………12分</p><p>5、设椭圆 的焦点分别为 、 ,直线 :</p><p>交 轴于点 ,且 .</p><p>(Ⅰ)试求椭圆的方程;</p><p>(Ⅱ)过 、 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 、 四点(如图所示),若四边形 的面积为 ,求 的直线方程.</p><p>解:(Ⅰ)由题意, -------1分</p><p>为 的中点------------2分</p><p>即:椭圆方程为 ------------3分</p><p>(Ⅱ)当直线 与 轴垂直时, ,此时 ,</p><p>四边形 的面积 不符合题意故舍掉;------------4分</p><p>同理当 与 轴垂直时,也有四边形 的面积 不符合题意故舍掉;------------5分</p><p>当直线 , 均与 轴不垂直时,设 : ,</p><p>代入消去 得: ------------6分</p><p>设 ------------7分</p><p>所以 ,------------8分</p><p>所以 ,------------9分</p><p>同理 ------------11分</p><p>所以四边形的面积</p><p>由 ,------------12分</p><p>所以直线 或</p><p>或 或 ---------13分</p><p>6、已知抛物线P:x2=2py(p0).</p><p>(Ⅰ)若抛物线上点 到焦点F的距离为 .</p><p>(ⅰ)求抛物线 的方程;</p><p>(ⅱ)设抛物线 的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线 的切线,求此切线方程;</p><p>(Ⅱ)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连接 , 并延长分别交抛物线的准线于C,D两点,求证:以CD为直径的圆过焦点F.</p><p>解:(Ⅰ)(ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点 到焦点F的距离与到准线距离相等,即 到 的距离为3;</p><p>,解得 .</p><p>抛物线 的方程为 .4分</p><p>(ⅱ)抛物线焦点 ,抛物线准线与y轴交点为 ,</p><p>显然过点 的抛物线的切线斜率存在,设为 ,切线方程为 .</p><p>由 ,消y得 ,6分</p><p>,解得 .7分</p><p>切线方程为 .8分</p><p>(Ⅱ)直线 的斜率显然存在,设 : ,</p><p>设 , ,</p><p>由 消y得 .且 .</p><p>, ;</p><p>∵ ,直线 : ,</p><p>与 联立可得 ,同理得 .10分</p><p>∵焦点 ,</p><p>, ,12分</p><p>以 为直径的圆过焦点 .14分</p><p>7、在平面直角坐标系 中,设点 ,以线段 为直径的圆经过原点 .</p><p>(Ⅰ)求动点 的轨迹 的方程;</p><p>(Ⅱ)过点 的直线 与轨迹 交于两点 ,点 关于 轴的对称点为 ,试判断直线 是否恒过一定点,并证明你的结论.</p><p>解:(I)由题意可得 ,2分</p><p>所以 ,即 4分</p><p>即 ,即动点 的轨迹 的方程为 5分</p><p>(II)设直线 的方程为 , ,则 .</p><p>由 消 整理得 ,6分</p><p>则 ,即 .7分</p><p>.9分</p><p>直线</p><p>12分</p><p>即</p><p>所以,直线 恒过定点 .13分</p><p>8、已知椭圆 的离心率为 ,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 .</p><p>(Ⅰ)求椭圆 的方程;</p><p>(Ⅱ)设直线 与椭圆 交于 两点,且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ,</p><p>求 面积的最大值.</p><p>解:(Ⅰ)因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ,</p><p>所以 ,1分</p><p>又椭圆的离心率为 ,即 ,所以 ,2分</p><p>所以 , .4分</p><p>所以 ,椭圆 的方程为 .5分</p><p>(Ⅱ)方法一:不妨设 的方程 ,则 的方程为 .</p><p>由 得 ,6分</p><p>设 , ,因为 ,所以 ,7分</p><p>同理可得 ,8分</p><p>所以 , ,10分</p><p>,12分</p><p>设 ,则 ,13分</p><p>当且仅当 时取等号,所以 面积的最大值为 .14分</p><p>方法二:不妨设直线 的方程 .</p><p>由 消去 得 ,6分</p><p>设 , ,</p><p>则有 , .①7分</p><p>因为以 为直径的圆过点 ,所以 .</p><p>由 ,</p><p>得 .8分</p><p>将 代入上式,</p><p>得 .</p><p>将①代入上式,解得 或 (舍).10分</p><p>所以 (此时直线 经过定点 ,与椭圆有两个交点),</p><p>所以</p><p>.12分</p><p>设 ,</p><p>则 .</p><p>所以当 时, 取得最大值 .14分</p><p>9、过抛物线C: 上一点 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。</p><p>(1)求证:直线AB的斜率为定值;</p><p>(2)已知 两点均在抛物线 : 上,若△ 的面积的最大值为6,求抛物线的方程。</p><p>解:(1)不妨设</p><p>…………………………………5分</p><p>(2)AB的直线方程为:</p><p>点M到AB的距离 。………………………………………7分</p><p>………9分</p><p>又由 且</p><p>………………………11分</p><p>设 为偶函数,故只需考虑 ,</p><p>所以 上递增,</p><p>当 时,</p><p>。故所求抛物线的方程为 ……………………13分</p><p>10、已知椭圆 的左焦点 是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线 交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为</p><p>(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线 轴时,求 的值;</p><p>(2)求 的值。</p><p>(Ⅰ)解:由题意椭圆的离心率 , ,所以 ,</p><p>故椭圆方程为 ,┄┄┄┄┄┄3分</p><p>则直线 , ,</p><p>故 或 ,</p><p>当点 在 轴上方时, ,</p><p>所以 ,</p><p>当点 在 轴下方时,同理可求得 ,</p><p>综上, 为所求.┄┄┄┄┄┄6分</p><p>(Ⅱ)解:因为 ,所以 , ,</p><p>椭圆方程为 , ,直线 ,</p><p>设 ,</p><p>由 消 得, ,</p><p>所以 ┄┄┄┄┄┄8分</p><p>故 ①</p><p>由 ,及 ,┄┄9分</p><p>得 ,</p><p>将①代入上式得 ,┄┄10分</p><p>注意到 ,得 ,┄┄11分</p><p>所以 为所求.┄┄┄┄┄┄12分</p><p>11、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 (a>b>0)的离心率为 ,其焦点在圆x2+y2=1上.</p><p>(1)求椭圆的方程;</p><p>(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角,使</p><p>.</p><p>(i)求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;</p><p>(ii)求OA2+OB2.</p><p>解:(1)依题意,得c=1.于是,a= ,b=1.…………………2分</p><p>所以所求椭圆的方程为 .………………………………4分</p><p>(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ①, ②.</p><p>又设M(x,y),因 ,故 ……7分</p><p>因M在椭圆上,故 .</p><p>整理得 .</p><p>将①②代入上式,并注意 ,得 .</p><p>所以, 为定值.………………………………10分</p><p>(ii) ,故 .</p><p>又 ,故 .</p><p>所以,OA2+OB2= =3.………………………16分</p><p>12、已知圆 的圆心为 ,一动圆与圆 内切,与圆 外切。</p><p>(Ⅰ)求动圆圆心 的轨迹方程;</p><p>(Ⅱ)(Ⅰ)中轨迹上是否存在一点 ,使得 为钝角?若存在,求出 点横坐标的取值范围;若不存在,说明理由.</p><p>解:(Ⅰ)设动圆P的半径为r,则</p><p>两式相加得|PM|+|PN|=4|MN|</p><p>由椭圆定义知,点P的轨迹是以M、N为焦点,焦距为 ,实轴长为4的椭圆</p><p>其方程为 …………6分</p><p>(Ⅱ)假设存在,设 (x,y).则因为 为钝角,所以</p><p>, ,</p><p>又因为 点在椭圆上,所以</p><p>联立两式得: 化简得: ,</p><p>解得: ,所以存在。……13分</p><p>13、已知点 是椭圆 的右焦点,点 、 分别是 轴、 轴上的动点,且满足 .若点 满足 .</p><p>(Ⅰ)求点 的轨迹 的方程;</p><p>(Ⅱ)设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点,直线 、 与直线 分别交于点 、 ( 为坐标原点),试判断 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.</p><p>解:(Ⅰ) 椭圆 右焦点 的坐标为 ,………(1分)</p><p>. ,</p><p>由 ,得 .…………(2分)</p><p>设点 的坐标为 ,由 ,有 ,</p><p>代入 ,得 .………(4分)</p><p>(Ⅱ)解法一:设直线 的方程为 , 、 ,</p><p>则 , .…………(5分)</p><p>由 ,得 ,同理得 .…………(7分)</p><p>, ,则 .……(8分)</p><p>由 ,得 , .………(9分)</p><p>则 .……………(11分)</p><p>因此, 的值是定值,且定值为 .………(12分)</p><p>解法二:①当 时, 、 ,则 , .</p><p>由 得点 的坐标为 ,则 .</p><p>由 得点 的坐标为 ,则 .</p><p>.……………(6分)</p><p>②当 不垂直 轴时,设直线 的方程为 , 、 ,同解法一,得 .…(8分)</p><p>由 ,得 , .…………(9分)</p><p>则 .…………(11分)</p><p>因此, 的值是定值,且定值为 .…………(12分)</p><p>14、在平面直角坐标系 中,已知圆B: 与点 ,P为圆B上的动点,线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C。</p><p>(1)求曲线C的方程;</p><p>(2)曲线C与 轴正半轴交点记为Q,过原点O且不与 轴重合的直线与曲线C的交点记为M,N,连结QM,QN,分别交直线 为常数,且 )于点E,F,设E,F的纵坐标分别为 ,求 的值(用 表示)。</p><p>解:(1)连接 ,由题意得, , ,</p><p>所以 ,…………………………………………………2分</p><p>由椭圆定义得,点 的轨迹方程是 .……………………………4分</p><p>(2)设 ,则 , 的斜率分别为 ,</p><p>则 , ,……………………………………………6分</p><p>所以直线 的方程为 ,直线 的方程 ,8分</p><p>令 ,则 ,……………………10分</p><p>又因为 在椭圆 ,所以 ,</p><p>所以 ,其中 为常数.…14分</p>
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