高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题（附答案）
<p>散型随机变量的均值与方差习题课</p><p>一、选择题</p><p>1．已知随机变量X的分布列是</p><p>X 1 2 3</p><p>P 0.4 0.2 0.4</p><p>则E(X)和D(X)分别等于()</p><p>A．1和0 B．1和1.8</p><p>C．2和2 D．2和0.8</p><p>[答案]D</p><p>[解析]E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2</p><p>D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8.</p><p>2．已知随机变量X的分布列为</p><p>X 0 1 2</p><p>P 715</p><p>715</p><p>115</p><p>且＝2X＋3，且E()等于()</p><p>A.35B.65 </p><p>C.215D.125</p><p>[答案]C</p><p>[解析]∵E(X)＝2023＋2023＋2023＝35，</p><p>E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.</p><p>3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()</p><p>A．0.4 B．1.2</p><p>C．0.43 D．0.6</p><p>[答案]B</p><p>[解析]∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65.</p><p>4．已知X的分布列为</p><p>X 1 2 3 4</p><p>P 14</p><p>13</p><p>16</p><p>14</p><p>则D(X)的值为()</p><p>A.2023 B.202344</p><p>C.202344 D.2023</p><p>[答案]C</p><p>[解析]∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2023，E(X2)＝2023＋2023＋2023＋2023＝2023，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝202344.</p><p>5．已知X的分布列为</p><p>X －1 0 1</p><p>P 12</p><p>13</p><p>16</p><p>若＝2X＋2，则D()的值为()</p><p>A．－13 B.59</p><p>C.109 D.209</p><p>[答案]D</p><p>[解析]E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋20232＋0＋20233＋1＋20236＝59，</p><p>D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209.</p><p>6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为()</p><p>A.65 B.2023</p><p>C.625 D.20235</p><p>[答案]B</p><p>[解析]由X～B3，25，D(X)＝20235＝2023.</p><p>7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()</p><p>A．n＝4，p＝0.6</p><p>B．n＝6，p＝0.4</p><p>C．n＝8，p＝0.3</p><p>D．n＝24，p＝0.1</p><p>[答案]B</p><p>[解析]由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～ B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知</p><p>3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.4</p><p>8．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表</p><p>甲的成绩</p><p>环数 7 8 9 10</p><p>频数 5 5 5 5</p><p>乙的成绩</p><p>环数 7 8 9 10</p><p>频数 6 4 4 6</p><p>丙的成绩</p><p>环数 7 8 9 10</p><p>频数 4 6 6 4</p><p>s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()</p><p>A．s3s2 B．s2s3</p><p>C．s1s3 D．s2s1</p><p>[答案]B</p><p>[解析]计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.</p><p>s1＝</p><p>120</p><p>＝2023.同理，s2＝2023，s3＝2023，</p><p>s2s3，故选B.</p><p>二、填空题</p><p>9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．</p><p>[答案]0.196</p><p>[解析]由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq＝100.02(1－0.02)＝0.196.</p><p>10．(2023福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.</p><p>[答案]nm</p><p>[解析]设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，</p><p>P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)．</p><p>则E(X)＝n1m＝nm.</p><p>11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．</p><p>[答案]48</p><p>[解析]设小王选对个数为X，得分为＝5X，</p><p>则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，</p><p>E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48.</p><p>12．若X的分布列如下表：</p><p>X 1 2 3 4</p><p>P 14</p><p>14</p><p>14</p><p>14</p><p>则D14X＝________.</p><p>[答案]564</p><p>[解析]E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，</p><p>D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－522</p><p>14＝54，</p><p>D14X＝116D(X)＝564.</p><p>三、解答题</p><p>13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．</p><p>[解析]由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003，</p><p>P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，</p><p>同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，</p><p>所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台．</p><p>14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．</p><p>(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；</p><p>(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值．</p><p>[解析]考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．</p><p>解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.</p><p>由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，</p><p>P(Ck)＝16.</p><p>(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：</p><p>P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)</p><p>＝2023316＝16.</p><p>(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－.</p><p>所以P(＝0)＝P(＝3)＝C20233＝127，</p><p>P(＝1)＝P(＝2)＝C2023223＝29，</p><p>P(＝2)＝P(＝1)＝C2023232＝49，</p><p>P(＝3)＝P(＝0)＝C20233＝827.</p><p>故的分布列为</p><p>0 1 2 3</p><p>P 127</p><p>29</p><p>49</p><p>827</p><p>的均值E()＝2023＋129＋249＋2023＝2.</p><p>解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.</p><p>3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23.</p><p>即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.</p><p>0 1 2 3</p><p>P 127</p><p>29</p><p>49</p><p>827</p><p>的均值E()＝323＝2.</p><p>15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．</p><p>(1)求的分布列、均值和方差；</p><p>(2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值．</p><p>[解析](1)的分布列为：</p><p>0 1 2 3 4</p><p>P 12</p><p>120</p><p>110</p><p>320</p><p>15</p><p>E()＝012＋2023＋2023＋2023＋415</p><p>＝1.5.</p><p>D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2023＋(2－1.5)2023＋(3－1.5)2023＋(4－1.5)215</p><p>＝2.75.</p><p>(2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2；</p><p>当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4，</p><p>a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．</p><p>16．(2023湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．</p><p>(1)求直方图中x的值；</p><p>(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．</p><p>[分析](1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．</p><p>[解析](1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.</p><p>(2)由题意知，X～B(3,0.1)．</p><p>因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729，</p><p>P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243，</p><p>P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027，</p><p>P(X＝3)＝C330.13＝0.001.</p><p>故随机变量X的分布列为</p><p>X 0 1 2 3</p><p>P 0.729 0.243 0.027 0.001</p><p>X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3.</p><p>[点评]本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．</p>
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