高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)
<p>选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质</p><p>一、选择题</p><p>1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()</p><p>A．2n－1 B．2n－1</p><p>C．2n＋1－1 D．2n</p><p>[答案]C</p><p>[解析]解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n</p><p>＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.</p><p>解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.</p><p>2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()</p><p>A．第4项 B．第4、5两项</p><p>C．第5项 D．第3、4两项</p><p>[答案]B</p><p>[解析](x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．</p><p>3．若x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()</p><p>A．210 B．120</p><p>C．461 D．416</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.</p><p>Tr＋1＝Cr10(x3)10－r1x2r＝Cr10x30－5r.</p><p>令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210.</p><p>4．(2023安徽6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()</p><p>A．2 B．3</p><p>C．4 D．5</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，故选A.</p><p>5．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n－k＋…＋(－1)nCnn＝()</p><p>A．2n B．0</p><p>C．－1 D．1</p><p>[答案]D</p><p>[解析]原式＝(2－1)n＝1，故选D.</p><p>6．设A＝37＋C2023＋C2023＋C673，B＝C2023＋C2023＋C2023＋1，则A－B＝()</p><p>A．128 B．129</p><p>C．47 D．0</p><p>[答案]A</p><p>[解析]A－B＝37－C2023＋C2023－C2023＋…－1＝(3－1)7＝128.</p><p>7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()</p><p>A．16 B．70</p><p>C．560 D．2023</p><p>[答案]D</p><p>[解析]考查二项式定理的展开式．</p><p>设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r</p><p>＝Cr82rx16－3r，</p><p>16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C2023＝2023.</p><p>8．(2023广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()</p><p>A．第9项 B．第10项</p><p>C．第19项 D．第20项</p><p>[答案]D</p><p>[解析]∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C2023＋C2023＋C2023＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，故选D.</p><p>9．若n为正奇数，则7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是()</p><p>A．0 B．2</p><p>C．7 D．8</p><p>[答案]C</p><p>[解析]原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.</p><p>10．(2023江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()</p><p>A．－1 B．0</p><p>C．1 D．2</p><p>[答案]B</p><p>[解析](2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r28－rCr8xr2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.</p><p>二、填空题</p><p>11．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023＋a2023x2023(xR)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2023)＋(a0＋a2023)＝________.(用数字作答)</p><p>[答案]2023</p><p>[解析]令x＝0，则a0＝1.</p><p>令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2023＋a2023＝(1－2)2023＝－1.</p><p>(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2023)＋(a0＋a2023)</p><p>＝2023a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2023)</p><p>＝2023－1＝2023.</p><p>12．(2023北京11)若x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．</p><p>[答案]510</p><p>[解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1x3r＝Cr5x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.</p><p>13．(2023全国Ⅱ理，14)若x－ax9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.</p><p>[答案]1</p><p>[解析]由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得</p><p>9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，</p><p>解得a＝1.</p><p>14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．</p><p>[答案]2n－132</p><p>[解析]用不完全归纳法，猜想得出．</p><p>三、解答题</p><p>15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：</p><p>(1)a8＋a7＋…＋a1；</p><p>(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.</p><p>[解析]令x＝0，得a0＝1.</p><p>(1)令x＝1得</p><p>(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①</p><p>a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.</p><p>(2)令x＝－1得</p><p>(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②</p><p>①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，</p><p>a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896.</p><p>16．设(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023(xR)．</p><p>(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2023的值．</p><p>(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2023的值．</p><p>(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2023|的值．</p><p>[分析]分析题意令x＝1求(1)式的值</p><p>令x＝－1求(2)式的值令x＝－1求(3)式的值</p><p>[解析](1)令x＝1，得：</p><p>a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝(－1)2023＝1①</p><p>(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2023＝20230②</p><p>与①式联立，①－②得：</p><p>2(a1＋a3＋…＋a2023)＝1－20230，</p><p>a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝1－202302.</p><p>(3)∵Tr＋1＝Cr202320230－r(－2x)r</p><p>＝(－1)rCr2023(2x)r，</p><p>a2k－10(kN*)，a2k0(kN*)．</p><p>|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2023|</p><p>＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2023，</p><p>所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2023＝20230.</p><p>17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.</p><p>[证明]∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，</p><p>(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，</p><p>而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，</p><p>由多项式的恒等定理得</p><p>C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.</p><p>∵Cmn＝Cn－mn(0n)，</p><p>(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.</p><p>18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．</p><p>[分析]由题目可获取以下主要信息：</p><p>①n＝5；②三项的和与差．</p><p>解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．</p><p>[解析]方法一：(1＋x－2x2)5＝5，</p><p>则Tr＋1＝Cr5(x－2x2)r(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k(－2x2)k＝(－2)kCkrxx＋k.</p><p>令r＋k＝4，则k＝4－r.</p><p>∵0r,05，且k、rN，</p><p>r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.</p><p>展开式中含x4的项为x4＝－15x4.</p><p>方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5(1＋2x)5，</p><p>则展开式中含x4的项为</p><p>C05C45(2x)4＋C15(－x)C35(2x)3＋C25(－x)2C25(2x)2＋C35(－x)3C15(2x)＋C45(－x)4C05(2x)0＝－15x4.</p>
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