高中数学复数代数形式的乘除运算测试题（有答案）
<p>选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算</p><p>一、选择题</p><p>1．(2023安徽理，1)i是虚数单位，i3＋3i＝()</p><p>A.14－312i</p><p>B.14＋312i</p><p>C.12＋36i</p><p>D.12－36i</p><p>[答案]B</p><p>[解析]i3＋3i＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)</p><p>＝3＋3i12＝14＋312i，故选B.</p><p>2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()</p><p>A．第一象限</p><p>B．第二象限</p><p>C．第三象限</p><p>D．第四象限</p><p>[答案]B</p><p>[解析]考查复数的运算．</p><p>z＝－2＋i，对应点位于第二象限，</p><p>选B.</p><p>3．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()</p><p>A．2i</p><p>B．i</p><p>C．－i</p><p>D．－2i</p><p>[答案]D</p><p>[解析]本小题主要考查复数的运算．</p><p>设z＝bi(bR)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2－b2＋b＋22i，</p><p>b＋22＝0，b＝－2，</p><p>z＝－2i，故选D.</p><p>4．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，bR)，则乘积ab的值是()</p><p>A．－15</p><p>B．－3</p><p>C．3</p><p>D．15</p><p>[答案]B</p><p>[解析]本题考查复数的概念及其简单运算．</p><p>1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi，</p><p>a＝－1，b＝3，ab＝－3.</p><p>5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝()</p><p>A．8</p><p>B．6</p><p>C．4</p><p>D．2</p><p>[答案]C</p><p>[解析]考查阅读理解能力和复数的概念与运算．</p><p>∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.</p><p>又使in＝1成立的最小正整数n＝4，a(i)＝4.</p><p>6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝()</p><p>A．2－i</p><p>B．2＋i</p><p>C．－2－i</p><p>D．－2＋i</p><p>[答案]A</p><p>[解析]考查复数的运算．</p><p>z＝－1＋2i，则5i－1＋2i＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)</p><p>＝10－5i5＝2－i.</p><p>7．设a，bR且b0，若复数(a＋bi)3是实数，则()</p><p>A．b2＝3a2</p><p>B．a2＝3b2</p><p>C．b2＝9a2</p><p>D．a2＝9b2</p><p>[答案]A</p><p>[解析]本小题主要考查复数的运算．</p><p>(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i</p><p>＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，</p><p>3a2b－b3＝0，3a2＝b2，故选A.</p><p>8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，zz＝8，则zz等于()</p><p>A．i</p><p>B．－i</p><p>C．1</p><p>D．i</p><p>[答案]D</p><p>[解析]本题主要考查复数的运算．</p><p>设z＝a＋bi(a，bR)，则z＝a－bi，</p><p>由z＋z＝4，zz＝8得2a＝4a2＋b2＝8a＝2b＝2</p><p>z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，zz＝2－2i2＋2i＝－i或zz＝2＋2i2－2i＝i.zz＝i，故选D.</p><p>9．(2023新课标全国理，2)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则zz－＝()</p><p>A.14</p><p>B.12</p><p>C．1</p><p>D．2</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i</p><p>＝3＋i－2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2(1＋3)</p><p>＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，z－＝3＋i－4，</p><p>zz－＝|z|2＝14，故选A.</p><p>10．定义运算abcd＝ad－bc，则符合条件1－1zzi＝4＋2i的复数z为()</p><p>A．3－i</p><p>B．1＋3i</p><p>C．3＋i</p><p>D．1－3i</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由定义得1－1zzi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i</p><p>z＝4＋2i1＋i＝3－i.</p><p>故应选A.</p><p>二、填空题</p><p>11.1＋i1－i表示为a＋bi(a，bR)，则a＋b＝________.</p><p>[答案]1</p><p>[解析]本小题考查复数的除法运算．</p><p>∵1＋i1－i＝(1＋i)22＝i，a＝0，b＝1.</p><p>因此a＋b＝1.</p><p>12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.</p><p>[答案]1＋i</p><p>[解析]本题主要考查复数的运算．</p><p>∵z＝i(2－z)，z＝2i1＋i＝1＋i.</p><p>13．关于x的不等式mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．</p><p>[答案]二</p><p>[解析]∵mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1，2)，m0(－1)＋2＝nm(－1)2＝pm，即m0，p0.</p><p>故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．</p><p>14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．</p><p>[答案]83</p><p>[解析]设z1z2＝bi(bR且b0)，z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.a＝4b2＝3ba＝83.</p><p>三、解答题</p><p>15．计算：</p><p>(1)－23＋i1＋23i＋21＋i2023＋1＋i3－i；</p><p>(2)1＋in＋i2n＋…＋i2023n(nN)．</p><p>[解析](1)原式＝－23＋i－i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i3－i</p><p>＝i＋1＋15＋25i＝65＋75i.</p><p>(2)当n＝4k(kN)时，原式＝1＋1＋…＋1 2023＝2023.</p><p>当n4k(kN)时，</p><p>原式＝1－i2023n1－in＝1－i2023nin1－in＝1－in1－in＝1.</p><p>16．已知复数z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，＝z＋ai(aR)，当2时，求a的取值范围．</p><p>[解析]z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i</p><p>＝(2＋4i)－(1＋3i)i＝1＋ii＝－i(1＋i)1＝1－i</p><p>∵＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i</p><p>z＝1＋(a－1)i1－i＝(1＋i)2＝2－a＋ai2</p><p>z＝(2－a)2＋a222</p><p>a2－2a－20，1－31＋3</p><p>故a的取值范围是．</p><p>17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，cR)．</p><p>(1)求b，c的值；</p><p>(2)试证明1－i也是方程的根．</p><p>[解析](1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根</p><p>(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0</p><p>即b＋c＋(2＋b)i＝0</p><p>b＋c＝02＋b＝0解得b＝－2c＝2.</p><p>(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0</p><p>把1－i代入方程左边得</p><p>左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立</p><p>1－i也是方程的根．</p><p>18．已知＝z＋i(zC)，z－2z＋2是纯虚数，又|＋1|2＋|－1|2＝16，求.</p><p>[解析]设z＝a＋bi(a，bR)</p><p>z－2z＋2＝(a－2)＋bi(a＋2)＋bi＝(a2＋b2－4)＋4bi(a＋2)2＋b2</p><p>由z－2z＋2是纯虚数得a2＋b2＝4b0①</p><p>|＋1|2＋|－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2</p><p>＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2</p><p>＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2</p><p>＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2</p><p>＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16，</p><p>b＝1，</p><p>将b＝1代入①得a＝3.</p><p>z＝3＋i，＝3＋2i.</p>
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