高中数学反证法测试题(含答案)
<p>一、选择题</p><p>1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()</p><p>A．有一个解</p><p>B．有两个解</p><p>C．至少有三个解</p><p>D．至少有两个解</p><p>[答案]C</p><p>[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.</p><p>2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()</p><p>A．a、b、c都是奇数</p><p>B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数</p><p>C．a、b、c都是偶数</p><p>D．a、b、c中至少有两个偶数</p><p>[答案]B</p><p>[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.</p><p>3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()</p><p>A．假设三内角都不大于60</p><p>B．假设三内角都大于60</p><p>C．假设三内角至多有一个大于60</p><p>D．假设三内角至多有两个大于60</p><p>[答案]B</p><p>[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选B.</p><p>4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()</p><p>A．假设a，b，c都是偶数</p><p>B．假设a、b，c都不是偶数</p><p>C．假设a，b，c至多有一个偶数</p><p>D．假设a，b，c至多有两个偶数</p><p>[答案]B</p><p>[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．</p><p>5．命题“△ABC中，若B，则ab”的结论的否定应该是()</p><p>A．ab</p><p>B．ab</p><p>C．a＝b</p><p>D．ab</p><p>[答案]B</p><p>[解析]“ab”的否定应为“a＝b或ab”，即ab.故应选B.</p><p>6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()</p><p>A．一定是异面直线</p><p>B．一定是相交直线</p><p>C．不可能是平行直线</p><p>D．不可能是相交直线</p><p>[答案]C</p><p>[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.</p><p>7．设a，b，c(－，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c中()</p><p>A．都不大于－2</p><p>B．都不小于－2</p><p>C．至少有一个不大于－2</p><p>D．至少有一个不小于－2</p><p>[答案]C</p><p>[解析]a＋1b＋c＋1a＋b＋1c</p><p>＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c</p><p>∵a，b，c(－，0)，</p><p>a＋1a＝－－a＋－1a－2</p><p>b＋1b＝－－b＋－1b－2</p><p>c＋1c＝－－c＋－1c－2</p><p>a＋1b＋c＋1a＋b＋1c－6</p><p>三数a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C.</p><p>8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()</p><p>A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行</p><p>B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直</p><p>C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交</p><p>D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面</p><p>[答案]B</p><p>[解析]对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m</p><p>则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．</p><p>9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()</p><p>A．甲</p><p>B．乙</p><p>C．丙</p><p>D．丁</p><p>[答案]C</p><p>[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.</p><p>10．已知x10，x11且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1，或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为()</p><p>A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1</p><p>B．存在正整数n，使xn＝xn＋1</p><p>C．存在正整数n，使xnxn＋1且xnxn－1</p><p>D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)0</p><p>[答案]D</p><p>[解析]命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.</p><p>二、填空题</p><p>11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．</p><p>[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形</p><p>[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．</p><p>12．用反证法证明命题“a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．</p><p>[答案]a，b都不能被5整除</p><p>[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．</p><p>13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：</p><p>①A＋B＋C＝90＋90＋180，这与三角形内角和为180相矛盾，则A＝B＝90不成立；</p><p>②所以一个三角形中不能有两个直角；</p><p>③假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A＝B＝90.</p><p>正确顺序的序号排列为____________．</p><p>[答案]③①②</p><p>[解析]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.</p><p>14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：</p><p>假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.</p><p>显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．</p><p>[答案]质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外</p><p>[解析]由反证法的步骤可得．</p><p>三、解答题</p><p>15．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.</p><p>求证：a0，b0，c0.</p><p>[证明]用反证法：</p><p>假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，</p><p>不妨设a0，b0，c0，则由a＋b＋c0，</p><p>可得c－(a＋b)，</p><p>又a＋b0，c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)</p><p>ab＋c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)＋ab</p><p>即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2</p><p>∵a20，ab0，b20，－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0，即ab＋bc＋ca0，</p><p>这与已知ab＋bc＋ca0矛盾，所以假设不成立．</p><p>因此a0，b0，c0成立．</p><p>16．已知a，b，c(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.</p><p>[证明]证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2(1－a)b＞14＝12，</p><p>同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.</p><p>三式相加，得</p><p>(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，</p><p>即32＞32，矛盾．</p><p>所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.</p><p>证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得</p><p>(1－a)b(1－b)c(1－c)a143①</p><p>因为01，所以0a(1－a)1－a＋a22＝14.</p><p>同理，0b(1－b)14，0c(1－c)14.</p><p>所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c143.②</p><p>因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．</p><p>17．已知函数f(x)是(－，＋)上的增函数，a，bR.</p><p>(1)若a＋b0，求证：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)；</p><p>(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．</p><p>[解析](1)证明：∵a＋b0，a－b.</p><p>由已知f(x)的单调性得f(a)f(－b)．</p><p>又a＋bb－af(b)f(－a)．</p><p>两式相加即得：f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．</p><p>(2)逆命题：</p><p>f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)a＋b0.</p><p>下面用反证法证之．</p><p>假设a＋b0，那么：</p><p>a＋ba－bf(a)f(－b)a＋bb－af(b)f(－a)</p><p>f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)．</p><p>这与已知矛盾，故只有a＋b0.逆命题得证．</p><p>18．(2023湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝2023n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．</p><p>[解析]假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rt)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为14，公比为23的等比数列，于是有btbr，则只可能有2bs＝br＋bt成立．</p><p>20233s－1＝2023r－1＋2023t－1.</p><p>两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝22s－r3t－s，</p><p>由于rt，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．</p><p>故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．</p>
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