高中数学函数的单调性与导数测试题（附答案）
<p>选修2-21.3.1函数的单调性与导数</p><p>一、选择题</p><p>1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()</p><p>A．b2－4ac0 B．b0，c0</p><p>C．b＝0，c D．b2－3ac0</p><p>[答案]D</p><p>[解析]∵a0，f(x)为增函数，</p><p>f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，</p><p>＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.</p><p>2．(2023广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()</p><p>A．(－，2) B．(0,3)</p><p>C．(1,4) D．(2，＋)</p><p>[答案]D</p><p>[解析]考查导数的简单应用．</p><p>f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，</p><p>令f(x)0，解得x2，故选D.</p><p>3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()</p><p>A．[－1，＋) B．(－，2]</p><p>C．(－，－1)和(1,2) D．B</p><p>[解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]．</p><p>4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()</p><p>[答案]C</p><p>[解析]当01时xf(x)0</p><p>f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数</p><p>当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.</p><p>5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()</p><p>A.－，－2和0，2</p><p>B.－2，0和0，2</p><p>C.－，－2，</p><p>D.－2，0和</p><p>[答案]A</p><p>[解析]y＝xcosx，当－x2时，</p><p>cosx0，y＝xcosx0，</p><p>当02时，cosx0，y＝xcosx0.</p><p>6．下列命题成立的是()</p><p>A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0</p><p>B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数</p><p>C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在</p><p>D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数</p><p>[答案]B</p><p>[解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．</p><p>7．(2023福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()</p><p>A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0</p><p>C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0</p><p>[答案]B</p><p>[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0.</p><p>8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()</p><p>A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)</p><p>C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)</p><p>[答案]C</p><p>[解析]∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，</p><p>f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，</p><p>又0＜a＜b，af(b)bf(a)．</p><p>9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()</p><p>A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)</p><p>C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由(x－1)f(x)0得f(x)在上单调递减或f(x)恒为常数，</p><p>故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.</p><p>10．(2023江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为</p><p>()</p><p>[答案]A</p><p>[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.</p><p>二、填空题</p><p>11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．</p><p>[答案]b－1或b2</p><p>[解析]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，</p><p>由题意b＜－1或b＞2.</p><p>12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________．</p><p>[答案]a1</p><p>[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．</p><p>设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，</p><p>g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，</p><p>g(x)＜g(1)，</p><p>∵g(1)＝1，</p><p>1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，</p><p>a1.</p><p>13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．</p><p>[答案](－，－1)</p><p>[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，</p><p>令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，</p><p>函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．</p><p>14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．</p><p>[答案]y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，</p><p>即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.</p><p>三、解答题</p><p>15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．</p><p>(1)求a、b的值；</p><p>(2)讨论函数f(x)的单调性．</p><p>[解析](1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.</p><p>由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，</p><p>即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，</p><p>解得a＝1，b＝－3.</p><p>(2)由a＝1，b＝－3得</p><p>f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)</p><p>＝3(x＋1)(x－3)．</p><p>令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.</p><p>所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；</p><p>当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；</p><p>当x(－1,3)时，f(x)是减函数．</p><p>16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.</p><p>[证明]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，</p><p>则f(x)＝1－12cosx＞0，</p><p>f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．</p><p>而当x＝0时，f(x)＝0，</p><p>方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.</p><p>17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．</p><p>[分析]可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．</p><p>[解析]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a＜0，b＜0.</p><p>由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.</p><p>令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.</p><p>当x－2b3a，0时，函数为增函数．</p><p>令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，</p><p>x＜－2b3a，或x＞0.</p><p>在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．</p><p>18．(2023新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.</p><p>(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；</p><p>(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．</p><p>[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，</p><p>f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．</p><p>当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.</p><p>故f(x)在(－，－1]，上单调递减．</p><p>(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．</p><p>令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.</p><p>若a1，则当x(0，＋)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.</p><p>当a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x(0，lna)时g(x)0，即f(x)0.</p><p>综合得a的取值范围为(－，1]．</p>
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