高中数学导数的几何意义综合测试题（附答案）
<p>选修2-2 1.1 第3课时 导数的几何意义</p><p>一、选择题</p><p>1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()</p><p>A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0</p><p>C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在</p><p>[答案]B</p><p>[解析]切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B.</p><p>2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为()</p><p>A．1 B.4</p><p>C.54 D．－4</p><p>[答案]B</p><p>[解析]∵y＝limx0 －(12x2－2)x</p><p>＝limx0 (x＋12x)＝x</p><p>切线的斜率k＝y|x＝1＝1.</p><p>切线的倾斜角为4，故应选B.</p><p>3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是()</p><p>A．(0,0) B．(2,4)</p><p>C.14，116 D.12，14</p><p>[答案]D</p><p>[解析]易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14.</p><p>4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()</p><p>A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2</p><p>C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5</p><p>[答案]B</p><p>[解析]y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3.</p><p>由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.</p><p>5．设f(x)为可导函数，且满足limx0 f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()</p><p>A．2 B．－1</p><p>C．1 D．－2</p><p>[答案]B</p><p>[解析]limx0 f(1)－f(1－2x)2x＝limx0 f(1－2x)－f(1)－2x</p><p>＝－1，即y|x＝1＝－1，</p><p>则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.</p><p>6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()</p><p>A．不存在 B．与x轴平行或重合</p><p>C．与x轴垂直 D．与x轴斜交</p><p>[答案]B</p><p>[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.</p><p>7．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f(5)分别为()</p><p>A．3,3 B．3，－1</p><p>C．－1,3 D．－1，－1</p><p>[答案]B</p><p>[解析]由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f(5)＝－1，故应选B.</p><p>8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为()</p><p>A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)</p><p>C．(－1,0) D．(1,4)</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵f(x)＝x3＋x－2，设xP＝x0，</p><p>y＝3x20x＋3x0(x)2＋(x)3＋x，</p><p>yx＝3x20＋1＋3x0(x)＋(x)2，</p><p>f(x0)＝3x20＋1，又k＝4，</p><p>3x20＋1＝4，x20＝1.x0＝1，</p><p>故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A.</p><p>9．设点P是曲线y＝x3－3x＋23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()</p><p>A.0，23 B.0，56</p><p>C.23 D.2，56</p><p>[答案]A</p><p>[解析]设P(x0，y0)，</p><p>∵f(x)＝limx0 (x＋x)3－3(x＋x)＋23－x3＋3x－23x</p><p>＝3x2－3，切线的斜率k＝3x20－3，</p><p>tan＝3x20－3－3.</p><p>0，23.故应选A.</p><p>10．(2023福州高二期末)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()</p><p>A．[－1，－12] B．[－1,0]</p><p>C． D．</p><p>[答案]A</p><p>[解析]考查导数的几何意义．</p><p>∵y＝2x＋2，且切线倾斜角，</p><p>切线的斜率k满足01，即02x＋21，</p><p>－1－12.</p><p>二、填空题</p><p>11．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________．</p><p>[答案]4x－y－1＝0</p><p>[解析]∵f(x)＝x2＋3，x0＝2</p><p>f(2)＝7，y＝f(2＋x)－f(2)＝4x＋(x)2</p><p>yx＝4＋x.limx0 yx＝4.即f(2)＝4.</p><p>又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)</p><p>即4x－y－1＝0.</p><p>12．若函数f(x)＝x－1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________．</p><p>[答案]y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)</p><p>[解析]由f(x)＝x－1x＝0得x＝1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．</p><p>∵f(x)＝limx0 (x＋x)－1x＋x－x＋1xx</p><p>＝limx0 1＋1x(x＋x)＝1＋1x2.</p><p>切线的斜率k＝1＋11＝2.</p><p>切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．</p><p>13．曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个．</p><p>[答案]至少一</p><p>[解析]由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．</p><p>14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．</p><p>[答案]3x－y－11＝0</p><p>[解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为 ，它是x0的函数，求出其最小值．</p><p>设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝ ＝3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.</p><p>三、解答题</p><p>15．求曲线y＝1x－x上一点P4，－74处的切线方程．</p><p>[解析]y＝limx0 1x＋x－1x－(x＋x－x)x</p><p>＝limx0 －xx(x＋x)－xx＋x＋xx</p><p>＝limx0 －1x(x＋x)－1x＋x＋x＝－1x2－12x .</p><p>y|x＝4＝－116－14＝－516，</p><p>曲线在点P4，－74处的切线方程为：</p><p>y＋74＝－516(x－4)．</p><p>即5x＋16y＋8＝0.</p><p>16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.</p><p>(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；</p><p>(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．</p><p>[解析](1)y＝limx0 (x＋x)3－3(x＋x)－3x3＋3xx＝3x2－3.</p><p>则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率</p><p>k1＝f(1)＝0，</p><p>所求直线方程为y＝－2.</p><p>(2)设切点坐标为(x0，x30－3x0)，</p><p>则直线l的斜率k2＝f(x0)＝3x20－3，</p><p>直线l的方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)</p><p>又直线l过点P(1，－2)，</p><p>－2－(x30－3x0)＝(3x20－3)(1－x0)，</p><p>x30－3x0＋2＝(3x20－3)(x0－1)，</p><p>解得x0＝1(舍去)或x0＝－12.</p><p>故所求直线斜率k＝3x20－3＝－94，</p><p>于是：y－(－2)＝－94(x－1)，即y＝－94x＋14.</p><p>17．求证：函数y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.</p><p>[解析]y＝limx0 f(x＋x)－f(x)x</p><p>＝limx0 x＋x＋1x＋x－x＋1xx</p><p>＝limx0 xx(x＋x)－x(x＋x)xx</p><p>＝limx0 (x＋x)x－1(x＋x)x</p><p>＝x2－1x2＝1－1x2＜1，</p><p>y＝x＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.</p><p>18．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.</p><p>(1)求直线l2的方程；</p><p>(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．</p><p>[解析](1)y|x＝1</p><p>＝limx0 (1＋x)2＋(1＋x)－2－(12＋1－2)x＝3，</p><p>所以l1的方程为：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.</p><p>设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，</p><p>y|x＝b＝limx0 (b＋x)2＋(b＋x)－2－(b2＋b－2)x</p><p>＝2b＋1，所以l2的方程为：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.</p><p>因为l1l2，所以3(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为：y＝－13x－229.</p><p>(2)由y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52，</p><p>即l1与l2的交点坐标为16，－52.</p><p>又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，－223，0.</p><p>所以所求三角形面积S＝12－521＋223＝20232.</p>
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