高中数学导数的概念综合测试题(含答案)
<p>选修2-2 1.1 第2课时 导数的概念</p><p>一、选择题</p><p>1．函数在某一点的导数是()</p><p>A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比</p><p>B．一个函数</p><p>C．一个常数，不是变数</p><p>D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C.</p><p>2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()</p><p>A．6 B．18</p><p>C．54 D．81</p><p>[答案]B</p><p>[解析]∵s(t)＝3t2，t0＝3，</p><p>s＝s(t0＋t)－s(t0)＝3(3＋t)2－332</p><p>＝18t＋3(t)2st＝18＋3t.</p><p>当t0时，st18，故应选B.</p><p>3．y＝x2在x＝1处的导数为()</p><p>A．2x B．2</p><p>C．2＋x D．1</p><p>[答案]B</p><p>[解析]∵f(x)＝x2，x＝1，</p><p>y＝f(1＋x)2－f(1)＝(1＋x)2－1＝2x＋(x)2</p><p>yx＝2＋x</p><p>当x0时，yx2</p><p>f(1)＝2，故应选B.</p><p>4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为()</p><p>A．37 B．38</p><p>C．39 D．40</p><p>[答案]D</p><p>[解析]∵st＝4(5＋t)2－3－452＋3t＝40＋4t，</p><p>s(5)＝limt0 st＝limt0 (40＋4t)＝40.故应选D.</p><p>5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是()</p><p>A．y＝f(x0＋x)－f(x0)叫做函数值的增量</p><p>B.yx＝f(x0＋x)－f(x0)x叫做函数在x0到x0＋x之间的平均变化率</p><p>C．f(x)在x0处的导数记为y</p><p>D．f(x)在x0处的导数记为f(x0)</p><p>[答案]C</p><p>[解析]由导数的定义可知C错误．故应选C.</p><p>6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y|x＝x0，即()</p><p>A．f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)</p><p>B．f(x0)＝limx0</p><p>C．f(x0)＝f(x0＋x)－f(x0)x</p><p>D．f(x0)＝limx0 f(x0＋x)－f(x0)x</p><p>[答案]D</p><p>[解析]由导数的定义知D正确．故应选D.</p><p>7．函数y＝ax2＋bx＋c(a0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于()</p><p>A．4a B．2a＋b</p><p>C．b D．4a＋b</p><p>[答案]D</p><p>[解析]∵yx＝a(2＋x)2＋b(2＋x)＋c－4a－2b－cx</p><p>＝4a＋b＋ax，</p><p>y|x＝2＝limx0 yx＝limx0 (4a＋b＋ax)＝4a＋b.故应选D.</p><p>8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()</p><p>A．圆 B．抛物线</p><p>C．椭圆 D．直线</p><p>[答案]D</p><p>[解析]当f(x)＝b时，f(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.</p><p>9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()</p><p>A．0 B．3</p><p>C．－2 D．3－2t</p><p>[答案]B</p><p>[解析]∵st＝3(0＋t)－(0＋t)2t＝3－t，</p><p>s(0)＝limt0 st＝3.故应选B.</p><p>10．设f(x)＝1x，则limxa f(x)－f(a)x－a等于()</p><p>A．－1a B.2a</p><p>C．－1a2 D.1a2</p><p>[答案]C</p><p>[解析]limxa f(x)－f(a)x－a＝limxa 1x－1ax－a</p><p>＝limxa a－x(x－a)xa＝－limxa 1ax＝－1a2.</p><p>二、填空题</p><p>11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则</p><p>limx0f(x0－x)－f(x0)x＝________；</p><p>limxx0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.</p><p>[答案]－11，－112</p><p>[解析]limx0 f(x0－x)－f(x0)x</p><p>＝－limx0 f(x0－x)－f(x0)－x＝－f(x0)＝－11；</p><p>limxx0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limx0 f(x0＋x)－f(x0)x</p><p>＝－12f(x0)＝－112.</p><p>12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．</p><p>[答案]0</p><p>[解析]∵y＝1＋x＋11＋x－1＋11</p><p>＝x－1＋1x＋1＝(x)2x＋1，</p><p>yx＝xx＋1.y|x＝1＝limx0 xx＋1＝0.</p><p>13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f(2)＝2，则a等于______．</p><p>[答案]2</p><p>[解析]∵yx＝a(2＋x)＋4－2a－4x＝a，</p><p>f(1)＝limx0 yx＝a.a＝2.</p><p>14．已知f(x0)＝limxx0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f(3)＝－2，则limx3 2x－3f(x)x－3的值是________．</p><p>[答案]8</p><p>[解析]limx3 2x－3f(x)x－3＝limx3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3</p><p>＝limx3 2x－3f(3)x－3＋limx3 3(f(3)－f(x))x－3.</p><p>由于f(3)＝2，上式可化为</p><p>limx3 2(x－3)x－3－3limx3 f(x)－f(3)x－3＝2－3(－2)＝8.</p><p>三、解答题</p><p>15．设f(x)＝x2，求f(x0)，f(－1)，f(2)．</p><p>[解析]由导数定义有f(x0)</p><p>＝limx0 f(x0＋x)－f(x0)x</p><p>＝limx0 (x0＋x)2－x20x＝limx0 x(2x0＋x)x＝2x0，</p><p>16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.2023m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.610－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．</p><p>[解析]位移公式为s＝12at2</p><p>∵s＝12a(t0＋t)2－12at20＝at0t＋12a(t)2</p><p>st＝at0＋12at，</p><p>limt0 st＝limt0 at0＋12at＝at0，</p><p>已知a＝5.2023m/s2，t0＝1.610－3s，</p><p>at0＝800m/s.</p><p>所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.</p><p>17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋x,4＋y)，求(1)yx(2)f(1)．</p><p>[解析](1)yx＝f(1＋x)－f(1)x</p><p>＝(1＋x)2＋3－12－3x＝2＋x.</p><p>(2)f(1)＝limx0 f(1＋x)－f(1)x</p><p>＝limx0 (2＋x)＝2.</p><p>18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．</p><p>[解析]f(x)＝x＋x2(x0)－x－x2(x0)</p><p>y＝f(0＋x)－f(0)＝f(x)</p><p>＝x＋(x)2(0)－x－(x)2(0)</p><p>limx0＋ yx＝limx0＋ (1＋x)＝1，</p><p>limx0－ yx＝limx0－ (－1－x)＝－1，</p><p>∵limx0－ ylimx0＋ yx，x0时，yx无极限．</p><p>函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)</p>
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