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meili 发表于 2022-10-14 16:09:50

高中数学推理与证明综合检测综合测试题（有答案）

第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是()A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理[答案]D[解析]所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是()A.a1＝1，an＋1＝an＋n(nN*)B.a1＝1，an＝an－1＋n(nN*，n2)C.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(nN*)D.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(nN*，n2)[答案]B[解析]记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n2时，an比an－1多n，可得递推关系a1＝1，an－an－1＝n(n2，nN*)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．不是以上错误[答案]C[解析]大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(nN*)时，验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[答案]D[解析]当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则()A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－12＜a＜32D．－32＜a＜12[答案]C[解析]类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)(x＋a)1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．(x－a)(x＋a)(x－a)(1－x－a)1即x2－x－a2＋a＋10不等式恒成立的充要条件是＝1－4(－a2＋a＋1)0即4a2－4a－30解得－2023.故应选C.6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案]D[解析]项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0B．小于0C．不小于0D．不大于0[答案]D[解析]解法1：∵a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c220.解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a、b大小不定[答案]B[解析]a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋10，cc－10，所以c＋1＋cc＋c－10，所以ab.9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k3且kN*)等于()A．f(k)＋B．f(k)＋C．f(k)＋32D．f(k)＋2[答案]B[解析]由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋.10．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是()A．等边三角形B．有一个内角是30的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角是30的等腰三角形[答案]C[解析]∵sinAa＝cosBb＝cosCc，由正弦定理得，sinAa＝sinBb＝sinCc，sinBb＝cosBb＝cosCc＝sinCc，sinB＝cosB，sinC＝cosC，B＝C＝45，△ABC是等腰直角三角形．11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝abba的大小关系是()A．pB．pqC．p＞qD．p＜q[答案]A若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，pq＞1；若a＝b，则pq＝1，pq.12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2023＝()x 1 2 3 4 5f(x) 4 1 3 5 2A.1B．2C．4D．5[答案]C[解析]x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2023＝x3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．半径为r的圆的面积S(r)＝r2，周长C(r)＝2r，若将r看作(0，＋)上的变量，则(r2)＝2r.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案]43R3＝4R2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(nN*)，用数学归纳法证明f(2n)n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.[答案]12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1[解析]f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12kf(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.15．观察①sin210＋cos240＋sin10cos40＝34；②sin26＋cos236＋sin6cos36＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案]sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)＝34[解析]观察40－10＝30，36－6＝30，由此猜想：sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2＋cos2(30＋)＋sincos(30＋)＝1－cos22＋1＋cos(60＋2)2＋12＝1＋12＋12sin(30＋2)－12＝1＋12[－2sin(30＋2)sin30]＋12sin(30＋2)－12＝34－12sin(30＋2)＋12sin(30＋2)＝34.16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bP，都有a＋b、a－b、ab、abP(除数b0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b2|a，bQ}也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集QM，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案]③④[解析]考查阅读理解、分析等学习能力．①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q，添上元素2，得到数集M，则取a＝3，b＝2，a＋bM；③由数域P的定义知，若aP，bP(P中至少含有两个元素)，则有a＋bP，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nbP，P中必含有无穷多个元素，③对．④设x是一个非完全平方正整数(x1)，a，bQ，则由数域定义知，F＝{a＋bx|a、bQ}必是数域，这样的数域F有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、cR，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c213.[证明]由a2＋b22ab，及b2＋c22bc，c2＋a22ca.三式相加得a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.3(a2＋b2＋c2)(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)1，即a2＋b2＋c213.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos4＝2，2cos8＝2＋2，2cos16＝2＋2＋2，……[证明]2cos4＝222＝22cos8＝21＋cos42＝21＋222＝2＋22cos16＝21＋cos82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，anan－1＝2an－1－1.(1)求a2、a3、a4；(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式．[解析](1)由anan－1＝2an－1－1得an＝2－1an－1，代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.(2)证明：由anan－1＝2an－1－1变形，得(an－1)(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，即1an－1－1an－1－1＝1，所以{1an－1}是等差数列．由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，变形得an－1＝22n－1，所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．[解析](1)证法1：任取x1，x2(－1，＋)，不妨设x1x2，则x2－x10，且ax10，又∵x1＋10，x2＋10，f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10，故函数f(x)在(－1，＋)上为增函数．证法2：f(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2∵a1，lna0，axlna＋3(x＋1)20，f(x)0在(－1，＋)上恒成立，即f(x)在(－1，＋)上为增函数．(2)解法1：设存在x0－1)满足f(x0)＝0则ax0＝－x0－2x0＋1，且01.0－x0－2x0＋11，即122，与假设x00矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．解法2：设x0－1)①若－10，则x0－2x0＋1－2，ax01，f(x0)－1.②若x0－1则x0－2x0＋10，ax00，f(x0)0.综上，x－1)时，f(x)－1或f(x)0，即方程f(x)＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？[解析]锐角三角形∵cn＝an＋bn (n＞2)，c＞a, c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cosC＞0.∵cosC＝a2＋b2－c22ab，要证cosC＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：an＋bn＝cn，于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②∵c＞a，c＞b，n＞2，cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cosC＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2023安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何nN＋，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.[分析]本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明]先证必要性．设数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．若d0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切nN＋都成立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②将①代入②，得k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切nN，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1(n2)④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)即an＋2－an＋1＝an＋1－an，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意nN*均成立．所以{an}是等差数列．

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