高中数学复数代数形式的加减运算及其几何意义综合测试题（附答案
<p>选修2-2 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义</p><p>一、选择题</p><p>1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()</p><p>A．a－c＝0且b－d0</p><p>B．a－c＝0且b＋d0</p><p>C．a＋c＝0且b－d</p><p>D．a＋c＝0且b＋d0</p><p>[答案]A</p><p>[解析]z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)</p><p>＝(a－c)＋(b－d)i，</p><p>∵z1－z2是纯虚数，</p><p>a－c＝0且b－d0.</p><p>故应选A.</p><p>2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()</p><p>A．－2b－2bi</p><p>B．－2b＋2bi</p><p>C．－2a－2bi</p><p>D．－2a－2ai</p><p>[答案]A</p><p>[解析]原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.</p><p>3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是()</p><p>A.115</p><p>B.3i</p><p>C.115＋3i</p><p>D.115＋23i</p><p>[答案]C</p><p>[解析]设这个复数为a＋bi(a，bR)，</p><p>则|a＋bi|＝a2＋b2.</p><p>由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i</p><p>即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3i</p><p>a＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3.</p><p>所求复数为115＋3i.故应选C.</p><p>4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()</p><p>A．第一象限</p><p>B．第二象限</p><p>C．第三象限</p><p>D．第四象限</p><p>[答案]A</p><p>[解析]∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，</p><p>z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.</p><p>点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.</p><p>5．ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()</p><p>A．2－3i </p><p>B．4＋8i </p><p>C．4－8i </p><p>D．1＋4i</p><p>[答案]C</p><p>[解析]AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，</p><p>设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z.</p><p>由平行四边形法则知AB＝DC，</p><p>－1＋3i＝(3－5i)－z，</p><p>z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.</p><p>6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为()</p><p>A．4</p><p>B．－1</p><p>C．6</p><p>D．0</p><p>[答案]B</p><p>[解析]z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－</p><p>＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0</p><p>m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B.</p><p>7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()</p><p>A．－3i</p><p>B．3i</p><p>C．3i</p><p>D．4i</p><p>[答案]B</p><p>[解析]令z＝a＋bi(a，bR)，则a2＋b2＝9①</p><p>又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数</p><p>a＝0b＋30②</p><p>由①②得a＝0，b＝3，</p><p>z＝3i，故应选B.</p><p>8．已知z1，z2C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是()</p><p>A．6</p><p>B．5</p><p>C．4</p><p>D．3</p><p>[答案]C</p><p>[解析]设z1＝a＋bi(a，bR，a2＋b2＝1)</p><p>z2＝c＋di(c，dR)</p><p>∵z1＋z2＝2i</p><p>(a＋c)＋(b＋d)i＝2i</p><p>a＋c＝0b＋d＝2c＝－ad＝2－b，</p><p>|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|</p><p>＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2</p><p>＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b.</p><p>∵a2＋b2＝1，－11</p><p>02－2b4，|z1－z2|4.</p><p>9．复数z＝x＋yi(x，yR)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()</p><p>A．2</p><p>B．4</p><p>C．42</p><p>D．82</p><p>[答案]C</p><p>[解析]∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi</p><p>|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|</p><p>x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2</p><p>x＝－2y＋3，</p><p>2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝814y＋4y42.</p><p>10．若xC，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()</p><p>A.12＋32i</p><p>B．x1＝4，x2＝－1</p><p>C．－4＋3i</p><p>D.12＋32i</p><p>[答案]C</p><p>[解析]令x＝a＋bi(a，bR)</p><p>则a2＋b2＝1＋3i－a－bi</p><p>所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3</p><p>故原方程的解为－4＋3i，故应选C.</p><p>二、填空题</p><p>11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2R)，则|z2－z1|＝______________.</p><p>[答案](x2－x1)2＋(y2－y1)2</p><p>[解析]∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，</p><p>z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，</p><p>|z2－z1|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.</p><p>12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，bR)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.</p><p>[答案]3</p><p>[解析]z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a＋33b＋[(a＋1)－(b＋2)i]</p><p>＝32a＋33b＋(a－b－1)i＝43，</p><p>32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1，</p><p>a＋b＝3.</p><p>13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.</p><p>[答案]16i</p><p>[解析]原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i</p><p>＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.</p><p>14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．</p><p>[答案]4－2i</p><p>[解析]∵BA对应的复数是1＋2i，</p><p>BC对应的复数为3－i，</p><p>AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.</p><p>又OC＝OA＋AC，</p><p>C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.</p><p>三、解答题</p><p>15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．</p><p>[解析]解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)</p><p>＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)</p><p>＝(3－7i)－(3＋4i)</p><p>＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.</p><p>解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)</p><p>＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i</p><p>＝0＋(－11)i＝－11i.</p><p>16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围．</p><p>[解析]z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝＋(3－1)i＝(4－a)＋2i</p><p>由|z1－z2||z1|得</p><p>(4－a)2＋44＋9，(4－a)29，17</p><p>a的取值范围为(1,7)．</p><p>17．已知z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin且z1－z2＝513＋2023i，求cos(＋)的值．</p><p>[解析]∵z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin</p><p>z1－z2＝(cos－cos)＋i(sin＋sin)＝513＋2023i</p><p>cos－cos＝513①sin＋sin＝2023②</p><p>①2＋②2得2－2cos(＋)＝1</p><p>即cos(＋)＝12.</p><p>18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；</p><p>(2)z1＝2cos－i，z2＝－2＋2isin(0)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求的范围．</p><p>[解析](1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，</p><p>f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.</p><p>(2)z1＋z2＝(2cos－i)＋(－2＋2isin)＝(2cos－2)＋(2sin－1)i，</p><p>由题意得：2cos－202sin－10，即cos22sin12</p><p>又，故4，56.</p>
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