高三数学三角函数、解三角形章末复习测试
<p>高三数学三角函数、解三角形章末复习测试（有答案）</p><p>一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有</p><p>一项是符合题目要求的)</p><p>1．已知是第一象限角，tan ＝34，则sin 等于()</p><p> A.45 B.35 C．－45 D．－35</p><p> 解析B由2k＜＜2＋2kkZ，sin cos ＝34，sin2＋cos2＝1，得sin ＝35.</p><p>2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B1，则△ABC是()</p><p>A．直角 三角形 B．锐角三角形</p><p>C．钝角三角形 D．等边三角形</p><p> 解析Asin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A1，</p><p>又sin A1，sin A＝1，A＝90，故△ABC为直角三角形．</p><p>3．在△ABC中，A＝60，AC＝16，面积为2023，那么BC的长度为()</p><p>A．25 B．51 C．493 D．49</p><p> 解析D由S△ABC＝12ABACsin 60＝43AB＝2023，得AB＝55，再由余弦定理，</p><p>有BC2＝162＋552－20235cos 60＝2 401，得BC＝49.</p><p>4．设，都是锐角，那么下列各式中成立的是()</p><p>A．sin(＋sin ＋sinB．cos(＋cos cos</p><p>C．sin(＋sin(－) D．cos(＋cos(－)</p><p> 解析C∵sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ，sin(－)＝sin cos －cos sin ，</p><p>又∵、都是锐角，cos sin 0，故sin(＋sin(－)．</p><p>5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电</p><p>视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东</p><p>75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()</p><p>A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km</p><p>解析B如图，由条件知AB＝202360＝6 .在△ABS中，BAS＝30，</p><p>AB＝6，ABS＝180－75＝105，所以ASB＝45.</p><p>由正弦定理知BSsin 30＝ABsin 45，</p><p>所以BS＝ABsin 30sin 45＝32.故选B.</p><p>(2023威海一模)若函数y＝Asin(x＋)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，</p><p>直线x＝3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是()</p><p>A．y＝4sin4x＋ B．y＝2sin2x＋3＋2</p><p>C．y＝2sin4x＋3 ＋2 D．y＝2sin4x＋6＋2</p><p> 解析D∵A＋m＝4，－A＋m＝0，A＝2，m＝2.</p><p>∵T＝2，＝2T＝4.y＝2sin(4x＋)＋2.</p><p>∵x＝3是其对称轴，sin43＋＝1.</p><p>43＋2＋kZ)． ＝k6(kZ)．</p><p>当k＝1时，6，故选D.</p><p>7．函数y＝sin(2x＋)是R上的偶函数，则的值是()</p><p>A．0 B. C. D．</p><p>解析C当2时，y＝sin2x＋2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数．</p><p>8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的()</p><p>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件</p><p>C．充要条件 D．既不充分也不必要条件</p><p>解析BC＝90时，A与B互余，sin A＝cos B，cos A＝sin B，有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立；但当A＝B时，也有cos A＋sin A＝cos B＋sin B成立，故“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的必要不充分条件．</p><p>9．△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是()</p><p>A．钝角三角形 B．直角三角形</p><p>C．等腰直角三角形 D．等边三角形</p><p>解析D∵2b＝a＋c，4b2＝(a＋c)2，</p><p>又∵b2＝ac，(a－c)2＝0，a＝c，2b＝a＋c＝2a，</p><p>b＝a，即a＝b＝c.</p><p>10．f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)在x＝1处取最大值，则()</p><p>A．f(x－1)一定是奇函数 B．f(x－1)一定是偶函数</p><p>C．f(x＋1)一定是奇函数 D．f(x＋1)一定是偶函数</p><p>解析D∵f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)在x＝1处取最大值，f(x＋1)在x＝0处取最大值，即y轴是函数f(x＋1)的对称轴，函数f(x＋1)是偶函数．</p><p>11．函数y＝sin2x－3在区间－上的简图是()</p><p>解析A令x＝0得y＝sin－3＝－32，排除B，D.由f－3＝0，f6＝0，排除C.</p><p>12．若tan ＝lg(10a)，tan ＝lg1a，且＋＝4，则实数a的值为()</p><p>A．1 B.110 C．1或110 D．1或10</p><p> 解析Ctan(＋)＝1tan ＋tan 1－tan tan＝lg10a＋lg1a1－lg10alg1a＝1lg2a＋lg a＝0，</p><p>所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或110.</p><p>二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)</p><p>13．(2023黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(x＋)的图象如图所</p><p>示，f2＝－23，则f(0)＝________.</p><p>解析由图象可得最小正周期为2 所以f(0)＝f23，注意到22关于712对称，</p><p>故f23＝－f2＝23.</p><p>【答案】23</p><p>14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且</p><p>满足ab＝4，则△ABC的面积 为________．</p><p>解析由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，2cos C＝1.C＝60.</p><p>又∵ab＝4，S△ABC＝12absin C＝124sin 60＝3.</p><p>【答案】3</p><p>15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其</p><p>轴截面顶角为120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的</p><p>高度为________m.</p><p>解析轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60＝53(m)．</p><p>【答案】53</p><p>16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为i(i＝1,2,3)，则cos13cos2＋33－sin13sin2＋33＝________.</p><p>解析记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情</p><p>形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知</p><p>有1＝2＝3＝23＝43，此时cos13cos2＋33－sin13sin2＋33</p><p>＝cos1＋2＋33＝cos43＝cos3＝－cos3＝－12.</p><p>【答案】－12</p><p>三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)</p><p>17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状．</p><p>解析∵lg sin B＝lg22，sin B＝22，</p><p>∵B为锐角，B＝45.</p><p>又∵lg a－lg c＝lg22，ac＝22.</p><p>由正弦定理，得sin Asin C＝22，</p><p>2sin C＝2sin A＝2sin(135－C)，</p><p>即sin C＝sin C＋cos C，cos C＝0，C＝90，</p><p>故△ABC为等腰直角三角形．</p><p>18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＋1(xR，＞0)的最小正周期是2.</p><p>(1)求 的值；</p><p>(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．</p><p>解析(1)f(x)＝1＋cos 2x＋sin 2x＋1</p><p>＝sin 2x＋cos 2x＋2</p><p>＝2sin2x＋4＋2.</p><p>由题设，函数f(x)的最小正周期是2，可得2＝2，</p><p>所以＝2.</p><p>(2)由(1)知，f(x)＝2sin4x＋4＋2.</p><p>当4x＋2＋2kZ)，即x＝16＋k2(kZ)时，</p><p>sin4x＋4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为xx＝16＋k2，kZ.</p><p>19．(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc.</p><p>(1)求角C的大小；</p><p>(2)如果a＋b＝6，CACB＝4，求c的值．</p><p>解析(1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc，</p><p>所以sin C＝3cos C．所以tan C＝3.</p><p>因为C(0，)，所以C＝3.</p><p>(2)因为CACB＝|CA||CB|cos C＝12ab＝4，</p><p>所以ab＝8.因为a＋b＝6，根据余弦定理，得</p><p>c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12.</p><p>所以c的值为23.</p><p>20．(12分)在△ABC中，a， b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.</p><p>(1)求角A的大小；</p><p>(2)求y＝2sin2B＋cos3－2B的值域．</p><p>解析(1)由m∥n得(2b－c)cos A－acos C＝0.</p><p>由正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0.</p><p>所以2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，</p><p>即2sin Bcos A－sin B＝0.</p><p>因为A，B(0，)，所以sin B0，cos A＝12，</p><p>所以A ＝3.</p><p>(2)y＝2sin2B＋cos3cos 2B＋sin3sin 2B</p><p>＝1－12cos 2B＋32sin 2B</p><p>＝sin2B－6＋1.</p><p>由(1)得023，所以－2B－76，</p><p>所以sin2B－－12，1，所以y12，2.</p><p>21．(12分)设函数f(x)＝sin(2x＋)(－0)的图象过点8，－1.</p><p>(1)求；</p><p>(2)求函数y＝f(x)的周期和单调增区间；</p><p>(3)画出函数y＝f(x)在区间上的图象．</p><p>解析(1)∵f(x)＝sin(2x＋)的图象过点8，－1，</p><p>－1＝sin4＋，4＝2k2(kZ)，</p><p>又(－，0)，＝－34.f(x)＝sin2x－34.</p><p>(2)由题意，T＝2，由(1)知f(x)＝sin2x－34，</p><p>由2k22x－32k2(kZ)得增区间为k8，k8(kZ)．</p><p>(3)f(x)在上的图象如图：</p><p>22．(12分)已知sin－4＝35，34.</p><p>(1)求cos－4的值；</p><p>(2)求sin 的值．</p><p>解析(1)∵sin－4＝35，且34，</p><p>0－2，cos－4＝ 45.</p><p>(2)sin ＝sin－4＝sin－4＋cos－4＝2023.</p>
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