高三数学知识点：三角函数专题热点
<p>天津市第四十二中学 张鼎言</p><p>6. 已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx</p><p>(Ⅰ)求f(-)的值;</p><p>(Ⅱ)设α∈(0，π)，f(-)=---，sinα的值。</p><p>解：(Ⅰ)化简f(x)，f(x)=-cos2x+-sin2x--</p><p>=sin(2x+-)--</p><p>f(-)=sin---=0</p><p>解：(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--</p><p>=---，</p><p>∴sin(α+-)=-</p><p>-sinα+-cosα=-</p><p>sinα+-cosα=-</p><p>-cosα=--sinα</p><p>两边平方整理关于sinα的二次方程：</p><p>16sin2α-4sinα-11=0</p><p>∵α∈(0，π)</p><p>∴sinα=-</p><p>注：在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中，公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ)，tanφ=-ba，起着重要的作用。</p><p>(二)三角函数的图象与性质</p><p>复习导引：这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质，又有其特殊的性质，周期性突显出来，如第3、9题，从图象角度审视，轴对称、中心对称、成为拟题的载体，如第4、5、6、11题。</p><p>1. 设函数f(x) =-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。</p><p>(Ⅰ)求ω的值;</p><p>(Ⅱ)如果f(x)在区间[--，-]上的最小值为-，求α的值。</p><p>解：(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α</p><p>=--+-sin2ωx+α</p><p>=-sin2ωx+-cos2ωx+α+-</p><p>=sin(2ωx+-)+α+-</p><p>2ω■+-=-，ω=-</p><p>(Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-</p><p>--≤x≤-</p><p>0≤x+-≤-</p><p>fmin(x)=f(-)=--+α+-=-</p><p>∴α=-+-</p><p>2. 如图，函数y=2sin(πx+φ)，(x∈R)，(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0，1)。</p><p>(Ⅰ)求φ的值;</p><p>(Ⅱ)设p是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求-与-的夹角。</p><p>解：(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1，sinφ=-</p><p>0≤φ≤- ∴φ=-</p><p>(Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)</p><p>∵P为最高点</p><p>∴πx+-=-，x=-，Q(-，0)</p><p>f(x)周期T=-=2，-=1，|MN|=1，|NQ|=-，|PQ|=2，tanα=-</p><p>cos2α=-=-</p><p>∴-与-的夹角是arccos-</p><p>3. 已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)，(A0，ω0，0-)，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点(1，2)。</p><p>(1)求φ;</p><p>(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2023)。</p><p>解：(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)</p><p>fmax(x)=--(--)=2 ∴A=2</p><p>由已知，T=4=-，ω=-</p><p>f(x)=1-cos(-x+2φ)</p><p>f(1)=1-cos(-+2φ)=2</p><p>∴sin2φ=1 0-</p><p>∴φ=-</p><p>∴f(x)=sin(-x)+1</p><p>(Ⅱ)f(1)=sin-+1=2</p><p>f(2)=sinπ+1=1</p><p>f(3)=sin-+1=0</p><p>f(4)=sin2π+1=1</p><p>又f(n)是以4为周期的函数</p><p>-=502</p><p>∴f(1)+f(2)+…+f(2023)=502×4=2023</p><p>4. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π0)，y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=-。</p><p>(Ⅰ)求φ;</p><p>(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;</p><p>(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。</p><p>解：(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴，</p><p>∴sin(2×■+φ)=±1.</p><p>∴sin(-+φ)=±1，-π0</p><p>∴-+φ=--，φ=--</p><p>∴f(x)=sin(2x--)</p><p>解：(Ⅱ)f(x)的单调递增区间</p><p>2kπ--≤2x--≤2kπ+-，k∈Z</p><p>kπ+-≤x≤kπ+-，k∈Z</p><p>证明：(Ⅲ)5x-2y+c=0，斜率k=-</p><p>f(x)=sin(2x--)</p><p>k'=f'(x)=2cos(2x--)</p><p>|k'|≤2</p><p>∵k≠|k'| ∴不能相切</p><p>注：本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。</p>
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