房山区2023九年级数学上册期中试题(含答案解析)
<p>房山区2023九年级数学上册期中试题(含答案解析)</p><p>一、选择题（本题共32分，每小题4分）</p><p>下列各题均有四个选项，其中有且只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在下表中相应的位置上．</p><p>题号 1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>答案</p><p>1. 抛物线 的顶点坐标是</p><p>A．B．C．D．</p><p>2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于</p><p>A．30° B．40°C．60° D．80°</p><p>3．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值等于</p><p>A．B．C． D．</p><p>4. 已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一 点，则该反比例函数的表达式为</p><p>A.B. C. D.</p><p>5. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′ 的面积的比为</p><p>A．1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1</p><p>6. 如图，弦AB ? OC，垂足为点C，连接OA，若OC=2，AB=4，则OA等于</p><p>A． B． C．D．</p><p>7. 在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一根旗杆的影长为 ，那么这根旗杆的高度为</p><p>A．10mB． 12mC． 15m D．40m</p><p>8. 如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN且∠APN=60°，过点A的切线AB交MN于点B. 设OP=x，△PAB的面积为 y，则下列图象中，</p><p>能表示 与 的函数关系的图象大致是</p><p>二、填空题（本题共16分，每小题4分）</p><p>9．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且 DE∥BC，</p><p>若AD=5，DB=3，DE=4，则BC等于 ．</p><p>10．如图，⊙ 的半径为2， ， 切⊙ 于 ，弦 ，</p><p>连结 ， 则图中阴影部分的面积为．</p><p>11. 如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，∠BCD=15°，</p><p>⊙O的半径为10，则AB=．</p><p>12. 抛物线 （其中n是正整数）与x轴交于An、Bn两点，若以AnBn表示这两点间的距离，则 ;；</p><p>(用含n的代数式 表示)</p><p>二、解答题（本题共30分，每小题5分）</p><p>13.计算：</p><p>解：</p><p>14.如图， 为线段 上一点， ， ， ．求证： ．</p><p>解:</p><p>15.已知二次函数 的图象与x轴有交点，求k的取值范围．</p><p>解:</p><p>16. 如图，在 中， ， ， 为 上一点， ， ，求 的长.</p><p>解:</p><p>17. 小红想要测量校园内一座教学楼CD的高度. 她先在A处测得楼顶C的仰角 30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角 60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米）参考数据： ， ，</p><p>解:</p><p>18. 如图，直线y=3x与双曲线 的两个交点分别为A (1 , m)和B．</p><p>（1）直接写出点B坐标，并求出双曲线 的表达式；</p><p>（2）若点P为双曲线 上的点（点P不与A、B重合），且满足PO=OB，直接写出点P坐标．</p><p>解:</p><p>四、解答题(本题共20分，每小题5分)</p><p>19. 抛物线 与x轴分别交于点A (－1,0)和点B，与y轴的交点C坐标为(0,－3)．</p><p>（1）求抛物线的表达式；</p><p>（2）点D为抛物线对称轴上的一个动点，若DA+DC的值最小，求点D的坐标.</p><p>解:</p><p>20. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，求这个车轮的外圆半径长．</p><p>解:</p><p>21.如图，AB是⊙O的 直径， 点C在⊙O上，CE? AB于E, CD平分?ECB, 交过 点B的射线于D, 交AB于F, 且BC=BD.</p><p>（1）求证：BD是⊙O的切线；</p><p>（2）若AE=9, CE=12, 求BF的长.</p><p>解:</p><p>22. 阅读下面的材料：</p><p>小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：</p><p>小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）= 12 .</p><p>请你参考小明的解题思路，回答下列问题：</p><p>(1) 计算：2※3= ；</p><p>(2) 若5※m=56 ，则m= .</p><p>(3) 函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（）</p><p>五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）</p><p>23. 直线y=﹣3x+3与x轴交于点A, 与y轴交于点B，抛 物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，与x轴的另一交点为C．</p><p>（1）求a，k的值；</p><p>（2）若点M、N分别为抛物线及其对称轴上的点, 且以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．</p><p>24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点 P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．</p><p>（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）</p><p>（2）求证：OD=OE；</p><p>（3）求证：PF是⊙O的切线．</p><p>解:</p><p>25. 已知抛物线 ．</p><p>（1） 求证：无论 为任何实数，抛物线与 轴总有两个交点；</p><p>（2） 若A 、B 是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和 的值；</p><p>（3） 若反比例函数 的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为 ，且满足23，求k的取值范围.</p><p>解:</p><p>房山区2023九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案和评分参考</p><p>一、选择题（每题4分，共32分）</p><p>题号 1 2 3 4 5 6 7 8</p><p>答案 B A D D C A C D</p><p>二、填空题（每题4分）</p><p>9.325 10.23π11.1012.(前两空每1分，最后一空2分)</p><p>三、解答题</p><p>13. 解：原式=1-2×32 -8+23 …………………………4分</p><p>=3 -7 ………………………………………5分</p><p>14. 证明 ：</p><p>∵ ，</p><p>∴ ．</p><p>∵ 为线段 上一点，且 ，</p><p>∴ ．</p><p>∴ ． …………………………………………………………………2分</p><p>∵ = ， …………………………………………………………………3分</p><p>∴△ ∽△ ． ………………………………………………………………4分</p><p>∴ ．………………………………………………………………………5分</p><p>15. 由题意可知： ……………………2分</p><p>即 …………………………3分</p><p>解得 ……………………………………4分</p><p>∴ k的取值范围是：k≤4且k≠3……………5分</p><p>16. 解：在 中， ， ，</p><p>∴</p><p>∴…………………………………1分</p><p>在 中， ，∴ ，……2分</p><p>∴ ……………………………………3分</p><p>∴ ……… …………4分</p><p>∴ ……………………………5分</p><p>17. ∵ 30°， 60°，∴∠ECF＝ ＝30°. ∴ .</p><p>在Rt△CFG中， ……………………………………………3分</p><p>∴ . ………………………………………………5分</p><p>答：这座教学楼的高度约为10.3米.</p><p>18.（1）点B坐标为（-1，-3）……………………………………1分</p><p>∵直线y=3x过点A(1，m)</p><p>∴m=3×1=3</p><p>∴A(1,3) ……………………………………………………2分</p><p>将A(1,3)代入y=kx 中，得 k=xy=1×3=3</p><p>∴y=3x …………………………………………… ……………3分</p><p>(2) P1(-3,-1), P2(3,1)………………………………………………5分</p><p>四、解答题</p><p>19. 解：(1) 将A(-1,0)和C(0,-3)代入抛物线 中</p><p>得：， 解得：…………1分</p><p>∴抛物线的解析式为 …………………2分</p><p>(2)由 =</p><p>知抛物线的对称轴为直线x=1，点B(3,0)……………3分</p><p>连接BC，交对称轴x=1于点D</p><p>可求得直线BC:y=x-3</p><p>当x=1时，y=-2</p><p>∴点D(1,-2)……………………………………………5分</p><p>20. 如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，……1分</p><p>∵CD=10cm，AB=60cm，</p><p>∴设半径为r，则OD=r﹣10，…………………………2分</p><p>根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，…………………3分</p><p>解得：r=50，…………………………………………5分</p><p>∴这个车轮的外圆半径长为50．</p><p>21. （1）证明：∵ ,</p><p>∴ .</p><p>∵ CD平分 , BC=BD,</p><p>∴ , .</p><p>∴ .…………………………1分</p><p>∴ ∥ .</p><p>∴ .</p><p>∵ AB是⊙O的直径,</p><p>∴ BD是⊙O的切线. ………………………………………………………2分</p><p>（2）连接AC，</p><p>∵ AB是⊙O直径，</p><p>∴ .</p><p>∵ ,</p><p>可得 .</p><p>∴ ………………………………………………………3分</p><p>在Rt△CEB中，∠CEB=90?, 由勾股定理得……………4分</p><p>∴ .</p><p>∵ , ∠EFC =∠BFD,</p><p>∴ △EFC∽△B FD.………………………………………………………5分</p><p>∴ .</p><p>∴ .</p><p>∴ BF=10.………………………………………………………………………6分</p><p>22. 解：（1） …………………1分</p><p>(2) ±6 ……………………3分</p><p>（3）D………………………5分</p><p>五、解答题（本题共22分，其中23题7分，24题7分，25题8分）</p><p>23. (1)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，</p><p>∴ ， . ……………………………………2分</p><p>又抛物线 经过点 ，</p><p>∴ 解得</p><p>即 ， 的值分别为 ， .……………………………4分</p><p>（2）…………………………………7分</p><p>24.（1）解：∵AC=12，</p><p>∴CO=6，</p><p>∴ = =2π；</p><p>（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，</p><p>∠PEA=90°，∠ADO=90°</p><p>在△ADO和△PEO中，</p><p>，</p><p>∴△POE≌△AOD（AAS），</p><p>∴OD=EO；</p><p>（3）证明：如图，连接AP，PC，</p><p>∵OA=OP，</p><p>∴∠OAP=∠OPA，</p><p>由（1）得OD=EO，</p><p>∴∠ODE=∠OED，</p><p>又∵∠AOP=∠EOD，</p><p>∴∠OPA=∠ODE，</p><p>∴AP∥DF，</p><p>∵AC是直径，</p><p>∴∠APC=90°，</p><p>∴∠PQE=90°</p><p>∴PC⊥EF，</p><p>又 ∵DP∥BF，</p><p>∴∠ODE=∠EFC，</p><p>∵∠OED=∠CEF，</p><p>∴∠CEF=∠EFC，</p><p>∴CE=CF，</p><p>∴PC为EF的中垂线，</p><p>∴∠EPQ=∠QPF，</p><p>∵△CEP∽△CAP</p><p>∴∠EPQ=∠E AP，</p><p>∴∠QPF=∠EAP，</p><p>∴∠QPF=∠OPA，</p><p>∵∠OPA+∠OPC=90°，</p><p>∴∠QPF+∠OPC=90°，</p><p>∴ OP⊥PF，</p><p>∴PF是⊙O的切线．</p><p>25．（1）证明：令 .</p><p>得.</p><p>不论m为任何实数，都有(m－1)2＋3＞0，即△＞0. ……………1分</p><p>∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点. ……………… 2分</p><p>（2）解：抛物线 的对称轴为</p><p>∵抛物线上两个不同点A 、B 的纵坐标相同，∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则 ．</p><p>∴ . ……………………………………………………… 3分</p><p>∴抛物线的解析式为 ．………………… 4分</p><p>∵A 在抛物线 上，</p><p>∴ .</p><p>化简，得 .</p><p>∴ ． ……………………………………………… 5分</p><p>（3） 当23时，</p><p>对于 ，y随着x的增大而增大，</p><p>对于 ，y随着x的增大而减小.</p><p>所以当 时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，</p><p>得 ＞ ，</p><p>解得k＞5.…………………………………6分</p><p>当 时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，</p><p>得 ＞ ，</p><p>解得k＜18.……………………………………7分</p><p>所以k的取值范围为5＜k＜18. ……………………………8分</p>
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