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meili 发表于 2022-10-14 16:02:08

西城区2023九年级上册数学期中测试题(含答案解析)

西城区2023九年级上册数学期中测试题(含答案解析)一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数的最大值是A．B．C．1 D．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于A．130°B．120°C．80° D．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B CD4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A．B．C．D．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面积是3，那么△A′B′C′的面积等于A．3B．6C．9D．126．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么m的取值范围是A．m＞2B．m≥3 C．m＜5D．m≤57．如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么的值是A．B．C． D．8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，，且点A，B，C的横坐标，，满足＜＜，那么符合上述条件的抛物线条数是A．7 B．8C．14D．16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．在平面直角坐标系xOy中，点在反比例函数的图象上， x轴于点B，那么△AOB的面积等于．10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么°．11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．12．在平面直角坐标系xOy中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足，（1）线段的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．解方程：．15．如图，在⊙ 中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，连接交AB于点E．如果⊙ 的半径等于，，求弦的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ 绕点A顺时针方向旋转90°得到△ ．（1）在正方形网格中，画出△ ；（2）计算线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积．（结果保留）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出件．如果商店计划要每天恰好盈利2023元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求的值．21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．（1）请依题意补全图形；（2）求证：；（3）求的值．22．已知抛物线C： .抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标抛物线C：变换后的抛物线（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为），且抛物线的顶点是抛物线C的顶点的对应点，求抛物线对应的函数表达式.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，在反比例函数（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；（2）求点E的坐标；（3）求证：．24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（）．（1） ① = ；② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且时，点Q到直线l的距离等于；（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为，．在图2中画出此时的线段及△ ，并直接写出相应m的值；（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．25．如图1，对于平面上不大于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边界上，作于点E，于点，则称为点P相对于的“点角距离”，记为．如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足 5，点P运动形成的图形记为图形G．（1）满足条件的其中一个点P的坐标是，图形G与坐标轴围成图形的面积等于；（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知，，求的值；（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当取最大值时，点Q的坐标．西城区2023九年级上册数学期中测试题(含答案解析)及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B B C D D B C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．3．10.28．11. ．12.（1）m；（2）3.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：……………………………………………………… 3分………………………………………………………………………………… 5分14．解：．∵ ，，， ……………………………………………………… 1分∴ ．……………………………………………… 2分∴……………………………………………… 3分．∴ 原方程的解是，．…………………………………… 5分15．解：连接OC．（如图1）∵ PC，PD与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，∴ OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分PC=PD，∠OPC=∠OPD．∴ CD⊥OP，CD=2CE． …………………………2分∵ ，∴ ．……………3分设 OE=k，则CE=2k，．（）∵ ⊙ 的半径等于，∴ ，解得．∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分∴ CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分16．（1）画图见图2． …………………………… 2分（2）由图可知△ 是直角三角形，AC=4，BC=3，所以AB=5．…………………… 3分线段AB在旋转到的过程中所扫过区域是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．……………………………………… 4分∴ ．…………………………………… 5分所以线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积为．17．解：根据题意，得．（20≤a≤80） …………………… 1分整理，得．可得．解方程，得，．…………………………………………………… 3分当时，（件）．当时，（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以． ………………………………… 4分答：商店计划要每天恰好盈利2023元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．……………………………………………………………………… 5分18．解：（1）当时，函数的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分（2）当a≠0时，函数是关于x的二次函数．∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，∴ 关于x的方程有两个相等的实数根． ………2分∴ ．………………………………………………3分整理，得．解得．…………………………………………………………… 5分综上，或．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°．………………………………………… 2分∴ ．∴ ∠PAC=∠APB．∴ PB=AB= 400．…………………………… 3分在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，∴ ≈346（米）．………………4分答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米． …………………………………… 5分20．（1）证明：如图4．∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．又∵ 点F在BC上，点G在FD上，∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴ ∠EFB =∠FDC． …………………… 1分∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2分（2）解：∵ BF=3，BC=CD=12，∴ CF=9，．由（1）得．∴ ． …………………………………………… 3分∴ ．……………………………………4分．∴ ． ………………………………………………… 5分21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分（2）证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴ ∠DBC=2∠ABC． ……………………………2分又∵ ，∴ ．……………………………3分（3）解：∵ ，∴ ∠A=∠D．又∵ ，∴ △AOE∽△DBM． ……………………………………………………… 4分∴ ．∵ ，OA =OC，∴ ．∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴ BC=BD．∴ ．………………………………………………………… 5分22．解：（1），． ……………………………………………………… 2分画图象见图6．……………………………………………………………… 3分（2）由题意得变换后的抛物线的相关点的坐标如下表所示：抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标变换后的抛物线设抛物线对应的函数表达式为．（a≠0）∵ 抛物线与y轴交点的坐标为，∴ ．解得．∴ ．……… 5分∴ 抛物线对应的函数表达式为．说明：其他正确解法相应给分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．解：（1）∵ 点在反比例函数（m为常数）的图象G上，∴ ．………………………………………………………………1分∴ 反比例函数（m为常数）对应的函数表达式是．设直线l对应的函数表达式为（k，b为常数，k≠0）．∵ 直线l经过点，，∴解得∴ 直线l对应的函数表达式为． ………………………………2分（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为． ………… 3分∵ CE∥x轴交直线l于点E，∴ ．∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分（3）如图7，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE，．∵ ，，，∴ 点F的坐标为．∴ CF=EF．∴ AC=AE．∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5分∵ 点在图象G上，∴ ，∴ ，，．在Rt△ABG中，，在Rt△BCH中，，∴ ．………………………………………………………… 6分∴ ．∵ ，，∴ ∠BAE=∠ACB． …………………………………………………………… 7分 24．解：（1）① = 90 ；………………………………………………………………1分② m=3时，点Q到直线l的距离等于．……………………………… 2分（2）所画图形见图8．………………………… 3分．……………………………… 4分（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．∵ CA⊥直线l，∴ ∠CAP=90 ．易证四边形ADFG为矩形．∵ 等边三角形ABC的边长为4，∴ ∠ACB=60 ，，．∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，∴ △ACP≌△BCQ．∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90 ．∴ ∠QBF=60 ．在Rt△QBF中，∠QFB=90 ，∠QBF=60 ，BQ=m，∴ ．…………………………………………………………… 5分要使△PAQ存在，则点P不能与点A，重合，所以点P的位置分为以下两种情况：① 如图9，当点P在（2）中的线段上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的下方．∴ ．∵ ，∴ ．整理，得．解得或．经检验，或在的范围内，均符合题意．… 7分② 如图10，当点P在（2）中的线段的延长线上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的上方．∴ ．∵ ，∴ . ．整理，得．解得（舍负）．经检验，在的范围内，符合题意．…………8分综上所述，或或时，△PAQ的面积等于．25．解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是；………………………………… 1分（说明：点的坐标满足， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）图形G与坐标轴围成图形的面积等于．…………………………………2分（2）如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．由点B的坐标为，可求得直线OB对应的函数关系式为．∴ 点D的坐标为，．∴ OB=5，，．∴ ．……………………………………… 3分∴ ．……………………………………… 4分（3）∵ 抛物线经过，两点，∴解得∴ 抛物线对应的函数关系式为．………………………5分如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．设点Q的坐标为，其中3≤m≤5，则．同（2）得．∴ 点N的坐标为，．∴ 当（在3≤m≤5范围内）时，取得最大值（）．………………………………………………………… 6分此时点Q的坐标为．…………西城区2023九年级上册数学期中测试题(含答案解析)参考答案

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