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meili 发表于 2022-10-14 16:02:07

昌平区2023九年级上学期数学期中试题(含答案解析)

昌平区2023九年级上学期数学期中试题(含答案解析)一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．已知∠A为锐角，且sinA＝12，那么∠A等于A．15°B．30°C．45° D．60°2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．等边三角形B．等腰直角三角形C．正方形D．正五边形3．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，那么∠BOC的度数是A．150°B．120°C．90° D．60°4．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于A．B．C． D．5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则 CD的长为A．1 B． C．2 D．6．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A ， △PAO的面积为3，则k的值为A．3 B．- 3 C． 6D．-67．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为A．B．3C．4 D．58．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，MP 2 ＝y，则表示y与x的函数关系的图象大致为二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．抛物线的顶点坐标是．10．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．11．如图，点P是⊙ 的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于点C，若，PB=6，则PC等于．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，记Rt△OAB为三角形①，按图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形②，③，④，……，则三角形⑤的直角顶点的坐标为；三角形⑩的直角顶点的坐标为；第2023个三角形的直角顶点的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算 : ．14．解方程: ．15．已知△ 如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ 绕点C顺时针旋转90°，得到△ ．（1）在网格中画出△ ；（2）直接写出点B运动到点所经过的路径的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(-1，4)，B(2，m)两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直接写出不等式＜的解集．17．如图，在△ABC和△CDE中，∠B =∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，BC=6．求CD的长．18．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC= ， AC=3.（1）求∠B的度数；（2）求AB及BC的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知抛物线．（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值．20．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？21．已知：如图，在Rt△AB C中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F， EB为⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BC=2，cos∠ABC 时，求⊙O的半径．22．已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF＝45°．（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；（2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点C（n，1）在反比例函数的图象上，求△AOC的面积；（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．24.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，AB =AC，AD =AE．连接 BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．（1）如图1，求证：BD⊥CE；（2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线；（3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长.25．如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．昌平区2023九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C B D C D D B二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 11 12答案（2，1） m＞-1三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式…………………………4分．……………………………………5分14．解法一：∵ ，，，∴……………………………………2分∴ ．………………… …………………3分∴ 原方程的根为：……………………………………5分解法二：．． ………………………………………1分．………………………………………2分．………………………………………3分∴ ，．………………………………………5分解法三：………………………………………2分，或．………………………………………3分∴ ，． ………………………………………5分15．解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形．……………3分（2） = π．……………………………5分16．解：（1）∵ 反比例函数经过A(-１，4)，B(2，m)两点，∴ 可求得k =-4，m =-2．∴ 反比例函数的解析式为．B(2，-2)．……………………………………2分∵ 一次函数也经过A、B两点，∴解得∴ 一次函数的解析式为．……………………………………3分（2）如图，-1＜x＜0，或x＞2．……………………………………5分17．解：∵ 在△ABC中，∠B =90o，∴ ∠A +∠ACB = 90o．∵ AC⊥CE，∴ ∠ACB +∠ECD =90o．∴ ∠A=∠ECD． ……………………………………2分∵ 在△ABC和△CDE中，∠A=∠ECD，∠B=∠D=90o，∴ △ABC∽△CDE．……………………………………3分∴ ．……………………………………4分∵ AB = 3，DE =2，BC =6，∴ CD =1． ……………………………………5分18．解：（1）∵ 在△ACD中，，CD= ，AC=3，∴ ．∴ ∠DAC =30o．……………………………………1分∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAC =2∠DAC =60o．……………………………2分∴ ∠B =30o． …………………………………………3分(2) ∵ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30o，AC=3，∴ AB =2AC =6．……………………………………4分． ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19 （1）证明：∵ △=…………………………………… 1分==1＞0，∴ 此抛物线与x轴必有两个不同的交点． …………………………… 2分（2）解：∵ 此抛物线与直线的一个交点在y轴上，∴ ． ………………………………………………………… 3分∴ ．∴ ，．………………………………………………………… 5分∴ 的值为或1．20．解：如图，作CD⊥AB于点D．∴ ∠ADC=90°．∵ 探测线与地面的夹角分别是30°和45°，∴ ∠DBC=45°，∠DAC=30°．∵ 在Rt△DBC中，∠DCB=45°，∴ DB=DC． 2分∵ 在Rt△DAC中，∠DAC=30°，∴ AC=2CD． 3分∵ 在Rt△DAC中，∠ADC=90°，AB=8，∴ 由勾股定理，得．∴ ． ……………………………………… 4分∴ ．∵ 不合题意，舍去．∴ ．∴ 有金属回声的点C的深度是( )米． ……………………………… 5分21（1）证明：如图，连结．∴ ．∴ ．∵ 平分 ,∴ ．∴ ． …………………………．．1分∴ ．∴ °．∴ ．∵ 是⊙O的半径，∴ AC是⊙O的切线． …………………………………………………………………2分（2）解：在Rt△ACB中，，BC=2 , cos∠ABC ,∴ ．…………………………………………………… 3分设的半径为，则．∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．解得．∴ 的半径为． ………………………………………………………… 5分22．解：（1）如图1．………………………… 1分（2）猜想tan∠ADF的值为．……………………2分求解过程如下:如图2.在BA的延长线上截取AG=CE,连接DG．∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF= ∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°．∴ ∠GAD = 90°．∴ △AGD ≌ △CED． ………………………………3分∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE．∵ ∠FDE=45°,∴ ∠ADF+∠EDC=45°．∴ ∠ADF+∠GDA =45°．∴ ∠GDF=∠EDF ．∵ DF = DF，∴ ∠GDF≌∠EDF ．……………………………… 4分∴ GF =EF．设AF=x, 则FB=6-x,∵ 点E为BC的中点,∴ BE=EC=3．∴ AG=3．∴ FG=EF=3+x．在Rt△BEF中，∠B =90°，由勾股定理，得 ,∴．∴ x=2．∴ AF=2．……………………………………………………………… 5分∴ 在Rt△ADF中，tan∠ADF= ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）∵点A（1，m）在一次函数的图象上，∴ m=3．∴ 点A的坐标为（1，3）．………………………………………………………1分∵点A（1，3）在反比例函数的图象上，∴ k =3．∴反比例函数的表达式为．…………………………………………2分（2）∵点C（n，1）在反比例函数的图象上，∴ n=3．∴ C（3，1）．∵ A(1,3），∴ S△AOC =4． …………………………………………………………5分（3）所有符合条件的点P的坐标：P1( ，0)，P2( ，0)．……………………………………………7分24．（1）证明：如图1．∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，∴ ∠CAE=∠BAD．在△CAE和△BAD中，∴ △CAE≌△BAD．…………………………………… 1分∴ ∠ACF=∠ABD．∵ ∠ANC=∠BNF，∴ ∠BFN=∠NAC=90°．∴ BD⊥CE．…………………………………… 2分（2）证明：如图1’．作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．由（1）知 △CAE ≌△BAD，∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ．………………… 3分∴ AG = AK．∴ 点A在∠CFD的平分线上． ………… 4分即 FA是∠CFD的平分线．（3）如图2．∵ ∠BAC = 90°，AB =AC，∴ ∠ACB=∠ABC =45°．∵ ∠BCE=15°，∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN．在Rt△ACN中∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°，∴ ． …………………………………… 5分∵ AB=AC=2，∴ BN= 2- ．…………………………………… 6分在Rt△ACN中∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°，∴ ．∴ ．…………………………………… 7分25．解：（1）∵ 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴解得∴ 二次函数的解析式为y= -x2 +x +2．………………………………………2分（2）如图1.∵二次函数的解析式为y=-x2+x+2与y轴相交于点C，∴ C(0，2)．设 E(a,b)，且a 0．∵ A（-1，0），B（2，0），∴ OA=1，OB=2，OC=2．则S四边形ABEC= =∵ 点 E(a,b)是第一象限的抛物线上的一个动点，∴ b = -a2 +a +2，∴ S四边形ABEC = - a2+2a+3= -（a -1）2+4∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1,2），且四边形ABEC的最大面积为4．………………………………………………5分（3）如图2.设M(m,n)，且m0．∵ 点M在二次函数的图象上，∴ n =-m2 +m +2．∵ ⊙M与y轴相切，切点为D，∴ ∠MDC =90°．∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴ ，或．…………………………………6分①当n 2时，．解得 m1=0(舍去)，m2= ，或m3=0(舍去)，m4=-1(舍去)．②同理可得，当n2 时，m1=0(舍去) ，m2= ，或m3=0（舍去），m4=3．综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，-4）． ……………8分

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