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meili 发表于 2022-10-14 16:02:07

门头沟区2023九年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)

门头沟区2023九年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．已知，则的值是A． B． C． D．2．已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定3．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是A． B．C． D．4．如果反比例函数在各自象限内，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是A．m＜0 B．m＞0 C．m＜－1 D．m＞－15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，如果，那么∠ACB的度数是A．40° B．50°C．60° D．80°6．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6的点数，掷这个骰子一次，则掷得面朝上的点数为奇数的概率是A． B． C． D．7．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A．B．C．D．8．如图，等边三角形ABC边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动时间为x秒，y=PC，则y关于x 函数的图象大致为A BCD二、填空题：（本题共16分，每小题4分）9．扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为_______.10．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示. 如果OA=20cm，OA′=50cm，那么这个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长的比是.11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线，在下列结论中，唯一正确的是.（请将正确的序号填在横线上）① a＜0；② c＜－1； ③ 2a+3b=0；④ b2－4ac＜0；⑤ 当x= 时，y的最大值为．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（－1，－1）、B（－3，－1）．我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐标是．（2）如果正方形ABCD经过2023次这样的变换得到正方形A2023B2023C2023D2023，那么B2023的坐标是．三、解答题：（本题共30分，每题5分）13．计算：14．已知抛物线y=x2－4x+3．（1）用配方法将y=x2－4x+3化成y=a(x－h)2+k的形式；（2）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）直接写出当x满足什么条件时，函数y＜0.15．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=3，AB=7，求AC的长.[来16．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）17．如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO=∠D；（2）若CD= ，AE=2，求⊙O的半径．18．如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象的一个交点为A（2，3）．（1）分别求反比例函数和一次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，请直接写出点P的坐标．四、解答题：（本题共20分，每题5分）19．如图，在锐角△ABC中，AB=AC，BC=10，sinA= ．（1）求tanB的值；（2）求AB的长．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=－x2+bx+c经过点（－3，0）和（1，0）.（1）求抛物线的表达式；（2）在给定的坐标系中，画出此抛物线；（3）设抛物线顶点关于y轴的对称点为A，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G．点B是抛物线对称轴上一动点，如果直线AB与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点B纵坐标t的取值范围．21．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF交AC的延长线于F．（1）求证：∠CBF= ∠CAB．（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．图1图2请回答：图1中∠APB的度数等于，图2中∠PP′C的度数等于．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；（3）在（2）的条件下，将关于的二次函数y= mx2+(3m+1)x+3的图象在x轴下方的部分沿 x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．24．矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．图1 图2（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．① 求证：△OCP∽△PDA；② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．25．我们规定：函数（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数就是反比例函数（k是常数，k≠0）．（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；（3）把反比例函数的图象向右平移4个单位，再向上平移个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧)，如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．门头沟区2023九年级上学期数学期中重点试题(含答案解析)参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A D D B C A C二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 11 12答案③ （－1，1）（2023，－1）三、解答题（本题共30分，每题5分）13．解：…………………………………………………………………4分.……… …………………………………………………………5分14．解：（1）y=x2－4x+4－4+3 …………………………………………………………1 分=(x－2)2－1 ………………………………………………………………2分（2）对称轴为直线，顶点坐标为（2，－1）. …………………………4分（3）1＜x＜3. …………………………………………………………………5分15．（1）证明：∵∠A=∠A，∠ABC=∠ACD，…………………………………………1分∴ △ACD∽△ABC. ……………………………………………………2分（2）解：∵ △ACD∽△ABC，∴ ………………………………………………………………3分∴ ………………………………………………………………4分∴ ………………………………………………………………5分新*课*标*第*一*网16．解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴ BD=AD=20．………………………………………………………………2分在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴ CD= AD= ．……………………………………………………4分∴ BC=BD+CD=20+ （m）．………………………………………………5分答：这栋楼高为（20+ ）m．17．（1）证明：∵ OC=OB，∴ ∠BCO=∠B．…………………………………………………………1分∵ ，∴ ∠B=∠D，∴ ∠BCO=∠D．…………………………………………………………2分（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴ CE= ．……………………………………………3分在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA－AE=r－2，∴ ，…………………………………………………4分解得：r=3，∴⊙O的半径为3．………………………………………………………5分18．解：（1）把A（2，3）代入，∴ ．∴ m=6．∴ ．…………………………………………………………………1分把A（2，3）代入y=kx+2，∴ 2k+2=3，……………………………………………………………………2分∴．∴ ．………………………………………………………………3 分（2）P1（1，6）或P2（－1，－6）．…………………………… ……………5分四、解答题（本题共20分，每题5分）19．解：（1）如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．………………………………1分∵ 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∴ ．设CD=3k，则AB=AC=5k．∴AD= ，…2分∴BD=AB－AD=5k－4k=k，∴ ． …………………………………………………3分（2）在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∴BC= ．∵BC=10，∴ ，…………………………………………………4分∴ ．∴AB=5k= ．………………………………………………………5分20．解：（1）∵抛物线y=－x2+bx+c经过点（－3，0）和（1，0）.∴………………………………………………………1分解得 ……………………………………………………………2分∴抛物线的表达式为y=－x2－2x+3．……………………………………3分（2）正确画出图象．…………………………………………………………4分（3） 2＜t≤4．……………………………………………………………………5分21．（1）证明：连结AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.∵BF是⊙O的切线，∴BF⊥AB，∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1. …………………………………………………………1分∵AB=AC，∠AEB=90°，∴∠1= ∠CAB.∴∠CBF= ∠CAB. ……………………………………………………2分（2）解：过点C作CG⊥AB于点G.∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，∴sin∠1= .∵∠AEB=90°，AB=5.∴BE=AB?sin∠1= .∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE= .…………………………………………………………3分在Rt△ABE中，由勾股定理得 .∴sin∠2= ，cos∠2= .在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2.∴AG=3. ……………………………………………………………………4分∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF.∴ ，∴ .…………………………………………………5分22．解：图1中∠PP′C的度数等于90°．………………………………………………1分图1中∠APB的度数等于150°．………………………………………………3分如图，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD．∵点A的坐标为（，1），∴tan∠AOE= ，∴AO=OD=2，∠AOE=30°，∴∠A OD=60°．∴△AOD是等边三角形． ………………………………………………………4分又∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，∴∠CAD=∠OAB，∴△ADC≌△AO B．∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，∴∠CDF=30°．∴DF= CF．∵C（x，y）且点C在第一象限内，∴y－2= x，∴y= x+2（x＞0）．………………………………………………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（1）证明：∵m≠0，∴mx2+(3m+1)x+3=0是关于x的一元二次方程.∴△=(3m+1)2－12m………………………………………………………1分=(3m－1)2．∵ (3m－1)2≥0，∴方程总有两个实数根. ……………………………………………… 2分（2）解：由求根公式，得x1=－3，x2= ． ……………………………………3分∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，∴m=1．……………………………………………………………………4分（3）解：∵m=1时，∴y=x2+4x+3．∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．…………………………………………5分当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．当直线y=x+b经过B点时，可得b=1．∴1＜b＜3． …………………6分当直线y=x+b与y=－x2－4x－3的图象有唯一公共点时，可得x+b=－x2－4x－3，∴x2+5x+3+b=0，∴△=52－4(3+b) =0，∴b= ．∴b＞．…………………………………………………………………7分综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞．24．解：（1）① 如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．………………………………………………………1分∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．……………………2分又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA．……………………………………………………3分② 如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴ ．∴CP= AD=4．设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=(8－x)2+42．…………………………………………4分解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．………………………………………………………5分∴边AB的长为10．（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ．又BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ= PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．又∵∠QFM=∠NFB，∴△MFQ≌△NFB．∴QF= QB．∴ EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB．……………………………………6分由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB= ，∴EF= PB= ．∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为．………………………………………………… …………7分25．解：（1）由题意得，(2+x)(3+y)=8．∴ ．∴ ．…………………………………………………1分根据定义，是奇特函数．…………………………………2分（2）由题意得，B（6，3）、D（3，0），∴点E（2，1）．……………………………………………………………3分将点B（6，3）和E（2，1）代入得……………………………………………………………4分解得∴奇特函数的表达式为．……………………………………5分（3）2．………………………………………………………………………6分（4）P1（，）、P2（，）．…………………………8分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分，谢谢！

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