石景山区2023九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)
<p>石景山区2023九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)</p><p>第Ⅰ卷（共30分）</p><p>一、选择题（本题共30分，每小题3分）</p><p>在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．</p><p>1． 的相反数是</p><p>A． B． C． D．</p><p>2．将 用科学记数法表示为</p><p>A．B．C． D．</p><p>3 ．有四张背面完全相同且不透明的卡片，每张卡片的正面分别写有数字 ， ， ， ，将它们背面朝上，洗均匀后放置在桌面上，若随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是</p><p>A． B． C． D．1</p><p>4．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，</p><p>那么在正方体的表面，与“友”相对的面上的汉字是</p><p>A．爱B．国 C．善 D．诚</p><p>5．如图， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为</p><p>A． B． C．D．</p><p>6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC= ，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为</p><p>A．B．</p><p>C．2D．3</p><p>7．在某校科技节“知识竞赛”中共进行四次比赛，甲、乙两个参赛同学，四次比赛成绩情况下表所示：</p><p>次数 第一次 第二次 第三次 第四次</p><p>甲 9.7 10 10 8.4</p><p>乙 9.2 10 9.7 9.2</p><p>设两同学得分的平均数依次为 ， ，得分的方差依次为 ， ，则下列关系中完全正确的是</p><p>A． ， B． ，</p><p>C． ， D． ，</p><p>8．等腰三角形一个角的度数为 ，则顶角的度数为</p><p>A．B． C． D． 或</p><p>9．如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为</p><p>A． B． C． D．</p><p>10．在平面直角坐标系中，四边形 是菱形，其中点 的坐标是（0,2），点 的坐标是（ ，2），点 和点 是两个动点，其中 点 从点 出发沿 以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点 后停止，同时点 从 点出发沿折线 → 以每秒2个单位 的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动，设 、 两点的运动时间为 ， 的面积是 ，下列图象中能表示 与 的函数关系的图象大致是</p><p>A BCD</p><p>第Ⅱ卷（共90分）</p><p>二、填空题（本题共18分，每小题3分）</p><p>11．分解因式： .</p><p>12．分式 的值为零的条件是___________.</p><p>13.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：,</p><p>可使它成为正方形.</p><p>14．如图所示，已知函数 和 的图象交点为 ，则不等式 的解集为___________.</p><p>15．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山 距离为 米的 处，然后沿着射线 退后到点 ，这时恰好在镜子里看到山头 ，利用皮尺测量 米，若小宇的身高是 米，则假山 的高度为________________.</p><p>16．在平面直角坐标系 中，我们把横，纵坐标都是整数的点叫做整点，已知在函数 上有一点 （ 均为整数），过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，当 时，矩形 内部（不包括边界） 有 个整点，当 时，矩形 内部有 个整点，当 时，矩形 内部有个整点，当 时，矩形 内部的整点最多．</p><p>三、解答题（本题共30分，每小题5分）</p><p>17．已知：如图， 是 的平分线， 是 上一点，且 于 ， 于 ， ．求证： ．</p><p>18．计算：</p><p>19．用配方法解方程：</p><p>20．若 ，求代数式 的值．</p><p>21．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点；一次函数 图象与反比例函数 的图象交于 、 ．</p><p>（1）求一次函数与反比例函数的表达式；</p><p>（2）求 的面积.</p><p>22．列方程或方程组解应用题</p><p>小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买4根荧光笔和8个笔记本需要100元，若购买8根荧光笔和4个笔记本需要80元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？</p><p>四、解答题（本 题共20分，每小题5分）</p><p>23．如图，在 中， ， 分别是边 、 的中点， 、 是边 上的三等分点，连接 、 且延长后交于点 ，连接 、</p><p>（1）求证：四边形 是平行四边形</p><p>（2）若 ， ， ，求：四边形 的面积</p><p>24． 2023年，移动电商发展迅速。以下是某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分.</p><p>2023年“移动电商行业用户规模”2023年“移动电商行业用户规模”统计图</p><p>增长率统计图</p><p>请根据以上信息解答下列问题：</p><p>（1）2023年10月“移动电商行业用户规模”</p><p>是_____亿台；（结果精确到0.1亿台）</p><p>并补全条形统计图；</p><p>（2）2023年9-12这三个月“移动电商行业用户规模”</p><p>比上个月增长的平均数为_______亿台，若按此平</p><p>均数增长，请你估计2023年1月“移动电商行业</p><p>用户规模”为______亿台．（结果精确到0.1亿台）</p><p>（3）2023年某电商在双11共售出手机20230台，</p><p>则C品牌手机售出的台数是_______.</p><p>25．如图，点 在⊙ 上， 于点 ， ， ， 为 延长线上一点，且 ， .</p><p>（1）求证： 是⊙O的切线；</p><p>（2）若点 是弧 的中点，且 交 于点 ，求 的长．</p><p>26．阅读下面材料：</p><p>小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形 中， ， ， ， 于点 ，求 的长．</p><p>小玲发现：分别以 ， 为对称轴，分别作出△ ，△ 的轴对称图形，点 的对称点分别为 ， ，延长 ， 交于点 ，得到正方形 ，根据勾股定理和正方形的性质就能求出 的长．（如图2）</p><p>请回答： 的长为， 的长为；</p><p>参考小玲思考问题的方法，解决问题：</p><p>如图3，在平面直角坐标系 中，点 ， ，点 是△ 的外角的角平分线 和 的交点，求点 的坐标．</p><p>五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）</p><p>27．已知关于 的方程 ．</p><p>（1）求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根；</p><p>（2）若关于 的二次函数 的图象经过坐标原点，得到抛物线 ．将抛物线 向下平移后经过点 进而得到新的抛物线 ,直线 经过点 和点 ，求直线 和抛物线 的解析式；</p><p>（3）在直线 下方的抛物线 上有一点 ，求点 到直线 的距离的最大值．</p><p>28．如图1，点 为正方形 的中心．</p><p>（1）将线段 绕点 逆时针方向旋转 ，点 的对应点为点 ，连结 ， ， ，请依题意补全图1；</p><p>（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明 与 的关系；</p><p>（3）如图2，点 是 中点，△ 是等腰直角三角形， 是 的中点， ， ， ，△ 绕 点逆时针方向旋转 角度，请直接写出旋转过程中 的最大值．</p><p>29．对于平面直角坐标系 中的点 ，定义一种变换：作点 关于 轴对称的点 ，再将 向左平移 个单位得到点 ， 叫做对点 的 阶“ ”变换．</p><p>（1）求 的 阶“ ”变换后 的坐标；</p><p>（2）若直线 与 轴， 轴分别交于 两点，点 的 阶“ ”变换后得到点 ，求过 三点的抛物线 的解析式；</p><p>（3）在（2）的条件下，抛物线 的对称轴与 轴交于 ，若在抛物线 对称轴上存在一点 ，使得以 为顶点的三角 形是等腰三角形，求点 的坐标．</p><p>石景山区2023九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及解析：</p><p>一、选择题（本题共30分，每小题3分）</p><p>题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>答案 A B B C B C A D B D</p><p>二、填空题（本题共18分，每小题3分）</p><p>11． ； 12． ；13． 等(答案不唯一)14．</p><p>15．17米；1 6．135；25．</p><p>三、解答题（本题共30分，每小题5分）</p><p>17．证明：∵ 是 的平分线， 是 上一点，</p><p>且 于 ， 于 ，</p><p>∴ , .…………………2分</p><p>在△ 和△ 中，</p><p>△ ≌△ .……………………4分</p><p>.………… …………5分</p><p>18．解：原式= ………………………………4分</p><p>=7………………………………5分</p><p>19．解：移项得： ………………………………1分</p><p>……………………2分</p><p>……………………………3分</p><p>……………………………4分</p><p>………………5分</p><p>20．解：原式= ………………………………2分</p><p>．………………………………3分</p><p>∵ ，</p><p>∴ ．………………………………4分</p><p>………………………………5分</p><p>21．解：（1）∵ 、 在反比例函数 图象 上</p><p>∴ ………………………………………………1分</p><p>∵ ∴</p><p>∴ ， 、</p><p>∴所求反比例函数解析式为： …… ………………2分</p><p>将 、 代入</p><p>∴所求直线解析式为： …………………………3分</p><p>（2）设 与 轴交点为</p><p>令 ，∴</p><p>∴</p><p>………………………………………………5分</p><p>22．解：设荧光笔和笔记本的单价分别是 元, 元…………………………1分</p><p>根据题意，得 ………………………………………3分</p><p>解得： ………………………………………………………4分</p><p>答：荧光笔和笔记本的单价分别是5元,10元…………………………5分</p><p>四、解答题（本题共20分，每小题5分）</p><p>23．（1）</p><p>证明：∵E、F是AC 边上的三等分点</p><p>∴CF=EF=AE</p><p>∵N是BC中点</p><p>∴FN是△CEB的中位线</p><p>∴FN//BE 即DF//BE</p><p>同理可证：ED//BF</p><p>∴四边形BFDE是平行四边形………………………2分</p><p>（2）过点B作BH⊥AC于点H</p><p>∵∠A=45°，AB=</p><p>∴BH=AH=3……………………………………………. 3分</p><p>∵∠C=30°</p><p>∴CH=</p><p>∴ ……………………………4分</p><p>∵E、F是AC边上的三等分点</p><p>∴</p><p>∴ ………………………5分</p><p>24．解：（1）8.0 ；图略…………………2分</p><p>（2）0.9；10.5 …………………2分</p><p>（3）2023………………… 1分</p><p>25．（1）证明：连结</p><p>∵ 于点</p><p>∴ 是⊙ 的直径…………………………………1分</p><p>∵ ，∴</p><p>在 中， ，∴</p><p>由勾股定理</p><p>在 中，由勾股定理逆定理：</p><p>∴ °即</p><p>∴ 是⊙ 的切线…………………………………2分</p><p>（2）解：∵点 是弧 的中点</p><p>∴ …………………………………3分</p><p>∵ 是⊙ 的直径</p><p>∴</p><p>∴ °</p><p>∴</p><p>∴</p><p>即</p><p>∴ ………………</p><p>∵</p><p>∴ 可得</p><p>∴ …………………………………5分</p><p>26．解： 的长为 ， 的长为 ；…………………2分</p><p>如 图，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，</p><p>于点 …………………3分</p><p>∵ 和 是△ 的外角的角平分线</p><p>∴ ，</p><p>∴</p><p>∴四边形 是正方形， ， …………4分</p><p>∴</p><p>∵ ，</p><p>∴</p><p>∴</p><p>∴ ,∴ ∴……………………5分</p><p>五、解答题（本题满分7分）</p><p>27．解：（1）当 时，</p><p>当 时，</p><p>∵ ，∴</p><p>综上所述：无论 取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分</p><p>（2）∵二次函数 的图象经过坐标原点</p><p>∴</p><p>∴ ………………………4分</p><p>抛物线 的解析式为：</p><p>抛物线 的解析式为：</p><p>设直线 所在函数解析式为：</p><p>将 和点 代入</p><p>∴直线 所在函数解析式为 ： ………5分</p><p>（3）据题意：过点 作 轴交 于 ，</p><p>可证 ,则</p><p>设 ， ，</p><p>∴</p><p>………………………6分</p><p>∵</p><p>∴当 时，</p><p>∵ 随 增大而增大，</p><p>∴ 为所求.………………………7分</p><p>六、解答题（本题满分7分）</p><p>28．解：</p><p>（1）正确画出图形；………………1分</p><p>（2）延长 交 于点 ，交 于点 …2分</p><p>∵ 为正方形 的中心，</p><p>∴ ，∠ ＝90……3分</p><p>∵ 绕点 逆时针旋转90角得到</p><p>∴</p><p>∴∠ ＝∠ ＝90</p><p>∴∠ ＝∠ ……4分</p><p>在△ 和△ 中，</p><p>， ，∠ ＝∠ ，</p><p>∴△ ≌△</p><p>∴ .……5分</p><p>∴∠ ＝∠</p><p>∵∠ +∠</p><p>∴∠ +∠ =90</p><p>∴ ⊥ ……6分</p><p>（3） 的最大值为 ……8分</p><p>七、解答题（本题满分8分）</p><p>29．解：（1）由 阶“ ”变换 定义：</p><p>将 于 轴对称的点为： …………………………………………1分</p><p>再将 向左平移 个单位得 的坐标</p><p>……………………………………………………………………2分</p><p>（2）直线： ，令 ∴</p><p>令 ∴</p><p>……………………………………………………………………3分</p><p>由 阶“ ”变换定义： ………………………………………4分</p><p>设：过 三点的抛物线 的解析式</p><p>将 代入：</p><p>∴抛物线 的解析式为：</p><p>……………………………………………………………………5分</p><p>（3） ，</p><p>（I）若 顶角顶点， 为腰，</p><p>∵</p><p>∴</p><p>， ……………………………6分</p><p>（II）若 为顶角顶点， 为腰，</p><p>∴</p><p>……………………………………… ……………7分</p><p>（III）若 为底，</p><p>过点 作 轴交抛物线对称轴于</p><p>设 ， ， ，</p><p>在 中，由勾股定理</p><p>解得： ∴</p><p>综上所述：点 的坐标是： ， ， ， ……8分</p>
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