三角函数与平面向量
<p>简介：</p><p>三角函数与平面向量</p><p>三角函数的图象与性质</p><p>1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.</p><p>2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).</p><p>3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.</p><p>1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.</p><p>2.函数f(x)=-cosx在，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.</p><p>基础训练</p><p>1. π奇解析：y=-cos=-sin2x.</p><p>2. 1解析：在.</p><p>(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)</p><p>变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.</p><p>解： y=cos2A+cos2=+</p><p>=1++</p><p>=1+=1+cos.</p><p>∵ A为三角形内角，∴ 0</p><p>∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.</p><p>例3解：(1) f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)</p><p>=2</p><p>=2sin.</p><p>因为f(x)为偶函数，</p><p>所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，</p><p>因此sin=sin.</p><p>即-sinωxcos+cosωxsin</p><p>=sinωxcos+cosωxsin，</p><p>整理得sinωxcos=0.</p><p>因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.</p><p>又因为0<φ<π，故φ-=.</p><p>所以f(x)=2sin=2cosωx.</p><p>由题意得=2×，所以ω=2.</p><p>故f(x)=2cos2x.</p><p>因此f=2cos=.</p><p>(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，</p><p>所以g(x)=f=2cos=2cos.</p><p>当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，</p><p>即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，</p><p>因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).</p><p>例4解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.</p><p>(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.</p><p>又t∈(0，π)，故t=或.</p><p>(3) 当x∈时，2x-∈， ∴ f(x)∈.</p><p>|f(x)-m|<3，即f(x)-3</p><p>变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).</p><p>(1) 求g(t)的表达式;</p><p>(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.</p><p>解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4</p><p>=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3</p><p>=(sinx-t)2+4t3-3t+3.</p><p>由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即</p><p>g(t)=4t3-3t+3.</p><p>(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1</p><p>列表如下：</p><p>t</p><p></p><p>-</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>g′(t)</p><p>+</p><p>0</p><p>-</p><p>0</p><p>+</p><p></p><p>g(t)</p><p> </p><p>极大值</p><p> </p><p>极小值</p><p> </p><p></p><p>由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.</p><p>高考回顾</p><p>1. —8解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).</p><p>2. π解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.</p><p>3. 解析： y=cosx=sin+.</p><p>4. ，k∈Z解析： f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.</p><p>∵ 周期为π，∴ ω=2，∴ f(x)=2sin.</p><p>2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.</p><p>5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得</p><p>f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.</p><p>所以函数的最小正周期为T==π.</p><p>因为x∈，所以2x+∈.</p><p>所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.</p><p>(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.</p><p>又由已知f(x0)=，则sin=.</p><p>因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，</p><p>所以cos=-，于是cos2x0=cos，</p><p>=coscos+sinsin</p><p>=-×+×=.</p><p>6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0</p><p>即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.</p><p>(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，</p><p>∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.</p>
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