设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续(agt;0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点ε,使得a^3f#39;#39;(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx
<p>问题：设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续(agt;0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点ε,使得a^3f#39;#39;(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">冯彦民的回答：<div class="content-b">网友采纳 f''(x)在[-a,a]上连续,∴f''(x)在[-a,a]上能取到最大值和最小值, 设该最大值为A,该最小值为B,则A≤f''(x)≤B,x∈[-a,a] 则∫Adt≤∫f''(t)dt≤∫Bdt,x∈[-a,a] =>Ax≤f'(x)-f'(0)≤Bx =>Ax+f'(0)≤f'(x)≤Bx+f'(0) 再从0到x积分得 Ax²/2+f'(0)x≤f(x)-f(0)≤Bx²/2+f'(0)x,∵f(0)=0 所以上式对x从-a到a积分得 a³A/3≤∫[-a,a]f(x)dx≤a³B/3,即 a³A≤3∫[-a,a]f(x)dx≤a³B ∴3∫[-a,a]f(x)dx∈ 而为连续函数a³f''(x)在[-a,a]上的值域 ∴由介值定理知存在ε∈[-a,a],使得a³f''(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">卢立军的回答：<div class="content-b">网友采纳 上式对x从-a到a积分得a³A/3≤∫[-a,a]f(x)dx≤a³B/3，这一步f'(0)怎么等于0了？这是一个常数啊<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">冯彦民的回答：<div class="content-b">网友采纳 f'(0)x从-a到a积分不是等于0吗
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