求密度函数随机变量Z是另外两个随机变量X、Y的函数,即Z=f(X,Y),已知X,Y的联合密度函数,求Z的密度函数?
<p>问题：求密度函数随机变量Z是另外两个随机变量X、Y的函数,即Z=f(X,Y),已知X,Y的联合密度函数,求Z的密度函数?<p>答案：↓↓↓<p class="nav-title mt10" style="border-top:1px solid #ccc;padding-top: 10px;">沈敬伟的回答：<div class="content-b">网友采纳 根据分布函数的定义： FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=∫∫f(x,y)dxdy(积分区域为x+y≤z) =∫(-∞,+∞)dx∫(-∞,z-x)f(x,y)dy 令y=u-x,FZ(z)=∫(-∞,+∞)dx∫(-∞,z)f(x,u-x)du改变积分次序 =∫(-∞,z)du∫(-∞,+∞)f(x,u-x)dx 由于fZ(z)=F'Z(z) 因此fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=∫(-∞,+∞)f(z-y,y)dy 当X,Y相互独立的时候有f(x,y)=fX(x,y)·fY(x,y) 这样fZ(z)=∫(-∞,+∞)fX(x)fY(z-x)dx=∫(-∞,+∞)fX(z-y)fY(y)dy =fX(x)*fY(y)这就是卷积公式 从这个过程也可以看出,在利用卷积公式求连续性随机变量和的分布的时候一定要有两个随机变量相互独立 这个推导过程虽然并不复杂,但不是很容易想到,因此最好结论记住：fZ(z)=∫(-∞,+∞)f(x,z-x)dx=∫(-∞,+∞)f(z-y,y)dy在考试中直接用结论. 另外在做积分的过程中一定要画图,最好是横轴为x纵轴z,这样将区域投影到z轴上就可以得到积分不为零的区域,这个过程有点类似于求边缘密度,找一个题做一下就知道了.
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