一道三元方程组练习题 标签：奥数练习题
<p><p>题目：解方程组 $left{begin{array}{}{l}{y=frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}}\{z=frac{4y^{2}}{1+4y^{2}}}\{x=frac{4z^{2}}{1+4z^{2}}}\end{array}right.$.</p><p>【解法1】当$x=y=z=0$时，显然成立，当$xyzne0$时，</p><p>$y=frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}lefrac{4x^{2}}{4x}=x=frac{4z^{2}}{1+4z^{2}}lefrac{4z^{2}}{4z}=z=frac{4y^{2}}{1+4y^{2}}lefrac{4y^{2}}{4y}=y$，</p><p>故所有等号必需成立，得$x=y=z$，</p><p>由$x=frac{4x^{2}}{1+4x^{2}}$，即$4x^{3}-4x^{2}+x=0$，即$x(2x-1)^{2}=0$，解得$x=frac{1}{2}$.</p><p>综上，此方程组有两组解：$x=y=z=0$、$x=y=z=frac{1}{2}$.</p><p>【解法2】显然$x=y=z=0$时方程组成立;</p><p>若$xyzne0$，则必有$x>0$，$y>0$，$z>0$，</p><p>因为$frac{4x}{y}=frac{1}{x}+4x$，$frac{4y}{z}=frac{1}{y}+4y$，$frac{4z}{x}=frac{1}{z}+4z$，</p><p>所以$(frac{1}{x}+4x)(frac{1}{y}+4y)(frac{1}{z}+4z)=64$.</p><p>又$frac{1}{x}+4xge4$，$frac{1}{y}+4yge4$，$frac{1}{z}+4zge4$，</p><p>所以当$frac{1}{x}+4x=frac{1}{y}+4y=frac{1}{z}+4z=4$，即$x=y=z=frac{1}{2}$时取等号.</p></p>
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