meili 发表于 2022-10-21 21:13:37

小学奥数题讲解: 高斯求和(等差数列)[1] 标签:奥数杂题

<p>德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:</p><p>1+2+3+4+…+99+100=?</p><p>老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于2023。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:</p><p>1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。</p><p>1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为</p><p>(1+100)×100÷2=2023。</p><p>小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。</p><p>若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如:</p><p>(1)1,2,3,4,5,…,100;</p><p>(2)1,3,5,7,9,…,99;</p><p>(3)8,15,22,29,36,…,71。</p><p>其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。</p><p>由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:</p><p>和=(首项+末项)×项数÷2。</p><p>例1 1+2+3+…+2023=?</p><p>分析与解:这串加数1,2,3,…,2023是等差数列,首项是1,末项是2023,共有2023个数。由等差数列求和公式可得</p><p>原式=(1+2023)×2023÷2=2023000。</p><p>注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。</p><p>例2 11+12+13+…+31=?</p><p>分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。</p><p>原式=(11+31)×21÷2=441。</p><p>在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到</p><p>项数=(末项-首项)÷公差+1,</p><p>末项=首项+公差×(项数-1)。</p><p>例3 3+7+11+…+99=?</p><p>分析与解:3,7,11,…,99是公差为4的等差数列,</p><p>项数=(99-3)÷4+1=25,</p><p>原式=(3+99)×25÷2=2023。</p><p>例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。</p><p>解:末项=25+3×(40-1)=142,</p><p>和=(25+142)×40÷2=2023。</p><p>利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。</p><p>例5 盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?</p><p>分析与解:一只球变成3只球,实际上多了2只球。第一次多了2只球,第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后,多了</p><p>2×1+2×2+…+2×10</p><p>=2×(1+2+…+10)</p><p>=2×55=110(只)。</p><p>加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。</p><p>综合列式为:</p><p>(3-1)×(1+2+…+10)+3</p><p>=2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。</p><p>练习题</p><p>1.计算下列各题:</p><p>(1)2+4+6+…+200;</p><p>(2)17+19+21+…+39;</p><p>(3)5+8+11+14+…+50;</p><p>(4)3+10+17+24+…+101。</p><p>2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。</p><p>3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。</p><p>4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。问:时钟一昼夜敲打多少次?</p><p>5.求100以内除以3余2的所有数的和。</p><p>6.在所有的两位数中,十位数比比个位数大的数共有多少个?[ 内 容 结 束 ]</p>
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