小升初数学试卷：数论之带余除法 标签：小升初数学题
<p>一、求被除数类</p><p>1. 同余加余，同差减差</p><p>例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少?</p><p>解：因为“被5除余3，被3除余3”中余数相同，即都是3(同余)，所以要先求满足5和3的最小数，=15，</p><p>15+3=18，</p><p>18÷7=2……4不余6，(不对)</p><p>15×2=30</p><p>(30+3)÷7=4……5不余6(不对)</p><p>(15×3+3)÷7=6……6(对)</p><p>所以满足条件的最小数是48。</p><p>例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少?</p><p>解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，=15，</p><p>15-1=14，</p><p>14÷7=2……0不余5(不对)</p><p>(15×6-1)÷7=12……5</p><p>所以满足条件的最小数是89。</p><p>例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数?</p><p>解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=2023。</p><p>二、求除数类</p><p>1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。</p><p>例1.一个数去除551，745，2023这3个数，余数都相同。问这个数最大可能是几?</p><p>解：745-551=194，2023-745=388。(194，388)=194，所以这个数最大是194。</p><p>2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。</p><p>例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数?</p><p>解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知正确答案为41。</p><p>三、求余数类</p><p>例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数?</p><p>解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。</p><p>例2.有一个整数，除2023，2023，2023所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少?</p><p>解：因为</p><p>2023=114=3×38，</p><p>2023=152=4×38。</p><p>某自然数应当是这两个差的公约数，即38。又因为</p><p>2023÷38=31(余22)</p><p>2023÷38=34(余22)。</p><p>所以，这个相同的余数是22。</p><p>例3.求20232023除以3所得的余数?</p><p>解：由同余的性质可知：对于同一个模，同余的乘方仍同余。</p><p>因为，</p><p>2023被3除余1，即20232023≡20230≡1，</p><p>所以20232023除以3所得的余数为1。</p><p>例4.有一个77位数，它的各位数字都是1，这个数除以7，余数是多少?</p><p>解：根据被7整除的特征知，202311能被7整除。</p><p>77 ÷6=12(余5)，</p><p>20231÷7=2023(余2)。</p><p>所以，这个数除以7的余数是2。</p><p>例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90个数排成一列，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和。那么，这90个数的和除以5的余数是多少?</p><p>解：这一列数被5除的余数依次为1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。</p><p>余数从头起20个数一个周期循环出现，而且这20个数的和40又恰为5的倍数。</p><p>90÷20=4(余10)</p><p>这列数中前10个数的余数和为</p><p>1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18</p><p>18÷5=3(余3)</p><p>所以，这90个数的和除以5的余数为3。</p><p>练习题：</p><p>1. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少?</p><p>2. 已知整数n除以3余2，求n除以12的余数?</p><p>3. 某数除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此数最小是多少?</p><p>4. 号码分别为101，126，173，193的四个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么，打球盘数最多的运动员打了多少盘?</p><p>5. 求20230除以13的余数是多少?</p><p>6. 当n是1到2023之间的一个自然数时，把它的各位数字相加，如果它的和不是一个一位数，那么把它的各位数再相加，如此继续下去，直到得到一个从1到9的一位数为止(例如：468→18→9)。问在1到2023这2023个自然数经过上述方法处理后所得的2023个一位数中，3多还是4多?多几个?</p><p>7. 由2023个2组成的数除以13，所得的余数是几?</p>
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