小学奥数六年级容斥原理问题答案 标签：奥数杂题
<p>在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )</p><p>解答：</p><p>根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。</p><p>分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123</p><p>由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①</p><p>由(2)知：a2+a23=(a3+ a23)×2……②</p><p>由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③</p><p>由(4)知：a1=a2+a3……④</p><p>再由②得a23=a2-a3×2……⑤</p><p>再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥</p><p>然后将④⑤⑥代入①中，整理得到</p><p>a2×4+a3=26</p><p>由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：</p><p>当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22</p><p>又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3</p><p>因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。</p><p>然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。</p><p>故只解出第二题的学生人数a2=6人。</p>
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