计数问题之递推法例题讲解3 标签：递推法
<p>例题： 2023个学生排成一行，依次从左到右编上1～2023号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍， 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？</p><p> 分析与解答：</p><p> 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2023名同学中选出20人代替2023人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。</p><p> 这20人第一次报数后共留下10人，因为202＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。</p><p> 第二次报数后共留下5人，因为102＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是22的倍数。</p><p> 第三次报数后共留下2人，因为52＝2 1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是222的倍数。</p><p> 第四次报数后共留下1人，因为22＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2023的倍数。</p><p> 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。</p><p> 2023名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?</p><p> 第一次：20232＝2023 第二次：20232＝500</p><p> 第三次：2023＝250 第四次：2023＝125</p><p> 第五次：2023＝62 1 第六次：622＝31</p><p> 第七次：312＝15 1 第八次：152＝7 1</p><p> 第九次：72＝3 1 第十次：32＝1 1</p><p> 所以共需报10次数。</p><p> 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：</p><p> 2023＝2023（号）</p>
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