数学奥林匹克专题讲座第3讲：奇偶分析 标签：广州奥数题
<p><p> 我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。 例1 下表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗?为什么? </p> <p> 分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。 </p> <p> 例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号(即由第1面一直编到第192面)。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2023? </p> <p> 解：不能。 </p> <p> 由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2023。 </p> <p> 说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。 </p> <p> 例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和?并说明理由。 </p> <p> 解：不能。 </p> <p> 如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为 </p> <p> 1+2+?+98=99×49，是个奇数，矛盾!所以不能按要求排成。 例4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?请说明理由。 </p> <p> 解：不可能。 </p> <p> 如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个(包括重复的)。从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。 </p> <p> 说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出矛盾的。 </p> <p> 例5 有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，?，20厘米3水。允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水(在A中的水不少于B中水的条件下)。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水? </p> <p> 解：不可能。 </p> <p> 在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以(偶，偶)(偶，奇)(奇，奇)来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中条件限制下，在倒水后，(偶，偶)仍为(偶，偶);而(偶，奇)会成为(偶，奇)或(奇，偶);(奇，奇)却成为(偶，偶)。在任何情况下，盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。 </p> <p> 因为开始时有10个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会出现有11个盛有奇数立方厘米水的容器。 </p> <p> 例6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话;一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员?”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子? </p> <p> 分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有45人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。 </p> <p> 说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。 </p> <p> 类似的问题是： </p> <p> 围棋盘上有19×19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子(或白子)的上、下、左、右的交叉点上放着白子(或黑子)。问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上? </p> <p> 提示：仿例6。答：不能。 </p> <p> 例7 某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数? </p> <p> 解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题，就要从165分中减去6分，不管错几道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差还是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去4分，并且不管有几道题不答，4的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数，故99名同学得分总和一定是奇数。 </p> <p> 例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆(每堆都有苹果、梨和桔子三种水果)，才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。 </p> <p> 分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表： </p> <p> 可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。 </p> <p> 说明：这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来，使问题一目了然。 </p> <p> 例9 有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值，哪几种币值不能由上面38枚硬币组成? </p> <p> 解：当币值为偶数时，可以用若干枚2分硬币组成; </p> <p> 当币值为奇数时，除1分和3分这两种币值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬币组成，所以5角以下的不同币值，只有1分和3分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。 </p> <p> 说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。 </p> <p> 若偶数用2k表示，奇数用2k+1表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下： </p> <p> 当币值为偶数时，2k说明可用若干枚2分硬币表示; </p> <p> 当币值为奇数时， </p> <p> 2k+1=2(k-2)+5， </p> <p> 其中k≥2。当k=0，1时，2k+1=1，3。1分和3分硬币不能由2分和5分硬币组成，而其他币值均可由2分和5分硬币组成。 </p> <p> 例10 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮? </p> <p> 解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的;而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由于 </p> <p> 999=7×142+5， </p> <p> 因此，灯A，B，C，D，E各被拉动143次开关，灯F，G各被拉动142次开关。所以，当小华拉动999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。 例11 桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚，第3次翻动其中的75枚??第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上?说明你的理由。 </p> <p> 分析：对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。 </p> <p> 解：按规定的翻动，共翻动1+2+?+77=77×39次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到 </p> <p> 77×39=77+(76+1)+(75+2)+?+(39+38)， </p> <p> 根据规定，可以设计如下的翻动方法： </p> <p> 第1次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次;第2次与第77次共翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次;同理，第3次与第76次，第4次与第75次??第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚硬币都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。 </p> <p> 说明：(1)此题也可从简单情形入手(如9枚硬币的情形)，按规定的翻法翻动硬币，从中获得启发。 </p> <p> (2)对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。 </p> <p> 例12 在8×8的棋盘的左下角放有9枚棋子，组成一个3×3的正方形(如左下图)。规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳(如右下图的1号棋子可以跳到2，3，4号位置)。问：这些棋子能否跳到棋盘的右上角(另一个3×3的正方形)? </p></p>
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