第二届大山杯决胜名校数学邀请赛决赛试题详解 标签：其他杯赛
<span></span><p><strong>郑州奥数网12月10日</strong> 第二届“大山杯”决胜少儿数学邀请赛于12月9日进行了决赛，14号开始通知决赛结果。</p><p>小编整理了此次考试的详解（决赛真题及答案），供同学们查看。小编提醒，同学们要通过此次考试进行总结，对自己的学习方法和知识掌握进行改善和查漏补缺，为2023郑州小升初做好充足的准备。</p><p><strong>第二届大山杯决赛试题详解</strong> </p><p>1、 </p><p>2、解：设一个瓶子满瓶体积为15，则一个瓶子酒精与水的体积之比为2:1，则酒精的体积为10,水的体积为5.同理，</p><p>另一个瓶子中酒精体积为12，水的体积为3。则混合后酒精总体积为10+12=22,混合后水的总体积为5+3=8。</p><p>则混合后酒精与水的体积比为22:8即11:4。</p><p>3、解：重点在于理解路程中的时间比。</p><p>同样的路程OB,家用了6h，乙用了8h，可假设OB==24(km)。</p><p>则甲的速度为：24÷6=4(km/h)。乙的速度为：24÷8=3(km/h)。</p><p>AO=4×8=32(km/h)。乙从B到A需用时：（24+32）÷3=56/3 (h)</p><p>4、观察到：3×2+2=5+3。则被3除余2转化为被3除余8。被5除余3转化为被5除余8。这样的自然数为×m+8=15n+8 只需（15n+8）除以7余4。</p><p>即：15n+8=7m+4 解不定方程可得：n=4时m=7 此时最小自然数为15×4+8=53。（此题亦可用中国剩余定理解答）</p><p>5、可以（方法不唯一）</p><p>A B C D E ;</p><p>经过：D C B A E ; 1次</p><p>D E A B C ; 2次</p><p>B A E D C ; 3次</p><p>B C D E A ; 4次</p><p>E D C B A ; 5次</p><p>E A B C D; 6次</p><p>6、6个（取法不唯一）</p><p>1,2,3,4,5,6,7,8,9,10先尽量取大数，有最不利原理，先取出6,7,8,9,10这5个数，然后就会发现在1,2,3,4,5中任意取</p><p>一个数都会有两个数其中一个是另一个的倍数所以至少取出6个数</p><p>7、2023055</p><p>我们就看每行第三个数有没有规律，第三行第三个数是1，第四行第三个数是3=1+2，第五行第三个数是6=1+2+3</p><p>第六行第三个数是10=1+2+3+4， · · · · · ·所以第2023行左起第三个数是：1+2+3+4+ · · · +2023=2023055</p><p>8、2023</p><p>不妨设这个四位数是aabb因为aabb=11×a0b，所以aabb可以被11整除，那么可以看出这个数可能是44、55、66、77、88、99的平方，</p><p>依次计算可知，这个数是88的平方，即2023</p><p>二、解答题</p><p>9、如下图，图中每个折点代表一个点（方法不唯一，找5条直线最多交点即可）</p><p>10、这道题目我们可以用表格形式表示题目条件</p><p><table align="center"><tbody><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">单位（元）</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">进入时花了</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">在店里面花了</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">离开时花了</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余</p></td></tr><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">一家</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余的一半</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center"><br /></p></td></tr><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">二家</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余的一半</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center"><br /></p></td></tr><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">三家</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余的一半</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center"><br /></p></td></tr><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">四家</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余的一半</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td></tr></tbody></table>首先我们来看小明带着多少钱进入的第四家店。由表格中</p><p><table align="center"><tbody><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">单位（元）</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">进入时花了</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">在店里面花了</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">离开时花了</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余</p></td></tr><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">四家</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余的一半</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td></tr></tbody></table>走出第四家店前小明还有1+1=2元钱</p><p>他在店里花了剩余的一半，那么进入第四家店后小明有2*2=4</p><p>进入第四家店之前，小明的钱数是4+1=5元</p><p>即：（1+1）*2+1=5元</p><p>同样，我们可以分析出小明进入第三家店之前，</p><p><table align="center"><tbody><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">单位（元）</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">进入时花了</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">在店里面花了</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">离开时花了</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余</p></td></tr><tr><td width="92"><p align="right"><br /></p><p align="center">三家</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="157"><p align="right"><br /></p><p align="center">剩余的一半</p></td><td width="120"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="86"><p align="right"><br /></p><p align="center">5</p></td></tr></tbody></table>他有（5+1）*2+1=13元</p><p>小明进入第二家店之前，他有（13+1）*2+1=29元</p><p>小明进入第一家店之前，他有（29+1）*2+1=61元</p><p>答：小明身上共带了了61元钱。</p><p>11、方法1、本题可用隔板法，由于3个空可用为0，则先增加3人，总人数为13人。由于分成3组，只需要在12个空中插2个板。方法数位=（12×11）÷（2×1）=66（种）</p><p>方法2、未学过个办法这道题目我们采用分类枚举法计算。我们看如下表格</p><p><table align="center"><tbody><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">前场</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">中场</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">后场</p></td><td width="139"><p align="right"><br /></p><p align="center">阵型总数</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">10</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td><td width="139"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td></tr><tr><td rowspan="2" width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">9</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td rowspan="2" width="139"><p align="right"><br /></p><p align="center">2</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td></tr><tr><td rowspan="3" width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">8</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">2</p></td><td rowspan="3" width="139"><p align="right"><br /></p><p align="center">3</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">2</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td></tr><tr><td rowspan="4" width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">7</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">3</p></td><td rowspan="4" width="139"><p align="right"><br /></p><p align="center">4</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">2</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">2</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">3</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td></tr><tr><td rowspan="5" width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">6</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">4</p></td><td rowspan="5" width="139"><p align="right"><br /></p><p align="center">5</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">3</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">2</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">2</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">3</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">1</p></td></tr><tr><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">4</p></td><td width="143"><p align="right"><br /></p><p align="center">0</p></td></tr></tbody></table>由上面表格的方法我们可以知道</p><p><table align="center"><tbody><tr><td width="114"><p align="right"><br /></p><p align="left">前场（人数）</p></td><td width="56"><p align="right"><br /></p><p align="left">5</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">4</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">3</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">2</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">1</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">0</p></td></tr><tr><td width="114"><p align="right"><br /></p><p align="left">阵型总数</p></td><td width="56"><p align="right"><br /></p><p align="left">6</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">7</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">8</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">9</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">10</p></td><td width="47"><p align="right"><br /></p><p align="left">11</p></td></tr></tbody></table>因此，总的阵型有1+2+3+…+11=66种</p><p>答：一共有66种阵型。</p><p>12、老师说最后一位数字错了，说明前三位数字都是对的，因此平均成绩四舍五入之后可能为：</p><p>12.60、12.61、12.62、12.63、……、12.69</p><p>在四舍五入之前平均成绩的取值范围为：12.595—12.694（保留小数点后三位）。</p><p>那么13个人的总成绩a的取值范围为：12.595×13</a<12.694×13<></p><p>经计算得：163.735</a<165.022<></p><p>每道题目得分为3，每个人的成绩都是3的倍数，总成绩也是3的倍数，且为整数。</p><p>在163.735—165.022范围内，是3的倍数，且为整数的只有165。</p><p>因此总成绩为165。</p><p>正确结果为165÷13=12.692。</p><p>四舍五入之后成绩为12.69。</p><p>答：最后结果有12.69</p>
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