专家指导：中国剩余定理解题技巧 标签：世奥赛
<p>在<strong>世界奥林匹克数学竞赛</strong>中，有一种问题称为“中国剩余定理”问题。例如：有1个数，除以7余2.除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少?像这类问题都有哪些解题技巧呢?我们一起来看看吧!</p><p>解这类问题常用的方法有两种：</p><p>第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。</p><p>第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。</p><p>还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。</p><p>下面分别介绍一下常用的两种方法。</p><p>通用的方法：逐步满足法</p><p>【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少?</p><p>把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……</p><p>然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.</p><p>所以11就是所求的数。</p><p>先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。</p><p>好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。</p><p>特殊的方法：最小公倍法</p><p>情况一</p><p>【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少?(1除外)</p><p>除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。</p><p>除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。</p><p>所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15+1=16.</p><p>情况二</p><p>【问题】一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少?</p><p>这种情况也可以用特殊法。</p><p>数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。</p><p>数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。</p><p>所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15-1=14.</p><p>多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。</p><p>所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。</p><p>我们接下来分析最开始的那个问题。</p><p>【问题】有1个数，除以7余2.除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少?</p><p>这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意<strong>余数知识</strong>的运用。</p><p>除以7余2的数可以写成7n+2。</p><p>7n+2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。(余数知识)</p><p>7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6(余数知识)，则n最小取6。</p><p>所以满足“除以7余2，除以8余4”的最小的数是7×6+2=44.</p><p>所有满足“除以7余2，除以8余4”的数都可以写成44+56×m。(想想为什么?)</p><p>要求44+56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。(余数知识)</p><p>56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2(余数知识)，则m最小取2。</p><p>所以满足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44+56×2=156.</p>
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