备战2023年华杯赛历年精选真题讲解：图形问题 标签：华杯赛
<p>2023年第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛(简称：华杯赛)备战已经开始了，为了让大家能够更好的为比赛做准备，优学宁波奥数网小编将历年的一些真题讲解整理出来，供大家。</p><p><strong>例1 ：</strong>把△ABC滚到△A′B′C′的位置。求△ABC滚动过的面积。(14分)(注：圆周率取3.14)</p><p>解： 画出△ABC滚动到△A′B′C′的位置时滚动的轨迹图，如下：</p><p>△ABC滚动过的面积可分成三部分：第一部分是以B为圆心，三角形的直角边为半径的扇形面积①;第二部分为△QBS，即三角形ABC的面积②;第三部分是以S为圆心，三角形的斜边为半径的扇形(③+④)。</p><p>分别计算图中①、②、③、④部分的面积：</p><!--分页--><p><strong>例2：</strong>把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍。请问：①原来的多边形是几边形?②把原来的多边形分割成了多少个多边形?</p><p>解：先来观察下面这组图形：</p><p>容易看出，n边形有n个顶点，n边形是由(n-2)个三角形组成的。因此，知道了一个多边形的边数或顶点数(n)，就可以求出它的内角和(n-2)×180°，知道了一个多边形由多少个三角形(m)组成的，就可以求出它的边数或顶点数(m+2)。</p><p>设原多边形是由a个三角形组成的，分割后的多边形共由b个三角形组成，a和b都是整数，根据题意有：</p><p>1.3×a×180°=b×180°，于是有1.3a=b。</p><p>由于b是整数，所以1.3a也是整数，a必是10的倍数，于是1.3a是13的倍数，b也是13的倍数。</p><p>(一)设a=10，则b=13，进而可知原多边形有12个顶点(12条边)，而分割后的多边形有15个顶点(15条边)。</p><p>由于连结一个多边形的两顶点时，将一个多边形分成两个多边形后，顶点的数目不变，而分出的两个多边形比原来增多2条边。连结多边形的一个顶点与一边上一点时，顶点数目增多1个，而分出的两个多边形比原来增多3条边。连接两边上一点时，顶点数目增多2个，而边数比原来增多4条。要增多(15-12=)3个顶点，增多13条边，有两种连线方法。(见下图)</p><p>显然原多边形是12边形，两种连结方法都将12边形分成了6个多边形。</p><p>(二)如果a=20，则b=26，原多边形有22个顶点，而分割后的多边形有28个顶点，增多了(28-22=)6个顶点，不论怎样连结都不能使分割后的多边形边数总和比原来的多边形增多13条边。因此原多边形不是22边形。</p><p>如果a更大，则分割后增加的顶点个数更多，不论怎样连结都不符合题目要求。因此原多边形只能是12边形。</p>
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