第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛一试试题答案 标签：华杯赛
<p>1.【解】设A为100以内所有奇数之和，B为100以内不与77互质的全体奇数之和，X为100以内与77互质的所有奇数之和,则 X＝A－B</p><p>显然A＝1＋3＋5＋7＋…＋99＝×50×100＝2023</p><p>又77＝7×11</p><p>100以内有约数7的奇数之和为7×(1＋3＋5＋7＋9＋11＋13)＝×7×14＝343</p><p>100以内有约数11的奇数之和为 11×(1＋3＋5＋7＋9)＝×5×10＝275</p><p>所以B＝343＋275－77＝541</p><p>于是，所求之和为 X＝2023－541＝2023．</p><p>2.【解】图1中画阴影区域的周长恰好等于大长方形的周长，图2中画阴影区域的周长显然比大长方形的周长小，二者之差是2AB．</p><p>从图2的竖直方向看，AB＝a－CD</p><p>再从图2的水平方向看，大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD。己知大长方形的长比宽多6cm．所以</p><p>(a＋2b)－(2b＋CD)＝a－CD＝6(cm)，从而AB＝6(cm)</p><p>因此，图1中画斜线区域的周长比图2中画斜线区域的周长大 2AB＝12cm。</p><p>3.【解】在A处的孩子数目看成1份，那么可顺次标出各道口处走过的孩子的份数，</p><p>可见B处有，C处有。C处孩子总数是 60＋×＝48(人)(202300－7×234－234×234)－(202300－7×759－759×759)</p><p>＝7×(759－234)＋759×759－234×234</p><p>＝7×(759－234)＋(759＋234)×(759－234)</p><p>＝7×(759－234)＋993×(759－234)</p><p>＝2023×<759－234)</p><p>＝202300。</p><p>5.【解】数组1，2，3，5，10，15，25的和是61，我们证明61就是最小值。</p><p>首先25是组中两个数a、b的和，不妨设a＞b，而除去1外，组中最小的数必定是2(否则这最小的数不是两个数的和，也不是1的两倍)。第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8</p><p>如果b＞8，那么除去1，2，3，4…b…a…25(1)</p><p>及1，2，3，5…b…a…25(2)</p><p>另外，其它情况各数的和均大于61，而由于b＞8，前一种情况，至少要增加一个大于4的数，各数的和仍大于61，后一种情况，各数的和同样会大于61，除非b＝10，相应地a＝15，即上面所列举的数为61的情况</p><p>如果b≤8，那么a≥17，为了将a表示成两个数的和或一个数的两倍，至少要有一个≥9的数，这样各数的和≥1＋2＋3＋b＋9＋a＋25＝65＞61，因此只有数组1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61。</p><p>下面，讨论和的最大值，如上所述，除去1外，组中最小的数必定是2，第三个小的数是3或4，在前一种情况，第四个小的数可能是4、5、6；在后一种情况，第四个小的数可能是5、6、8。要使和最大，次大的数可取24，从而数组1，2，4，8，16，24，25的和是80，应为和的最大值。</p><p>6.【解】设A、B两个港口相距S千米，甲、乙两船第二次迎面相遇时的位置与港口A相距x千米，甲船第二次追上乙船时的位置与港口A相距y千米。</p><p>第一步先求x，甲、乙第二次迎面相遇，甲顺水行(S＋x)千米，逆水行S千米，乙顺水行S千米，逆水行(S－x)千米，甲顺水速度32(＝28＋4)千米／小时，逆水速度24(＝28－4)千米／小时；乙顺水速度24(＝20＋4)千米／小时，逆水速度16(＝20－4)千米／小时，两船所用时间相等，所以32。24 24。16</p><p>即S十x＝2(S－x)</p><p>解得x＝S</p><p>第二步求y．如果甲船在逆水时第二次追上乙，那么乙船顺水行nS千米(n为自然数)，逆水行(nS－y)千米，甲船顺水行(nS＋2S)千米，逆水行(nS＋2S－y)千米，并且</p><p>去分母(两边同乘96)得(3n－14)S＝2y</p><p>由于左边是S的整数倍，右边y＜S，所以必有y＝</p><p>如果甲船在顺水时第二次追上乙，那么乙船顺水行(nS＋y)千米，逆水行nS千米，甲船顺水行(nS＋2S＋y)千米，逆水行(nS＋2S)千米，并且化简得y＝(14－3n)S(1)</p><p>由于14除以3余2，所以(14－3n)S≥2S．而y≤S，从而(1)不能成立</p><p>因此，y＝</p><p>第三步求S</p><p>由－＝40得</p><p>S＝40÷(－)＝240(千米)</p><p>答：两港相距240千米。</p>
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