第十届华杯赛总决赛二试试题答案 标签：华杯赛
<p>1．【解】△AOB与△COB等高，所以△AOB的面积∶△COB的面积＝AO∶OC，</p><p>又△AOD与△COD等高，所以△AOD的面积∶△COD的面积＝AO∶OC，</p><p>△ABD＝△AOB＋△AOD，△CBD＝△COB＋△COD</p><p>所以△ABD的面积∶△CBD的面积＝AO∶OC，</p><p>已知△ABD的面积∶△CBD的面积＝3∶5</p><p>所以AO∶OC＝3∶5，OC＝AO，AO＝1，OC＝.</p><p>2．【解】凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2023的2023个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2023个数中，含质因数2的有2023÷2＝2023个，含质因数5的有2023÷5＝401个，既含2又含5的有2023÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2023－2023－401＋200＝801个.</p><p>3．【解】原式＝</p><p>4．【解】即求满足a×100＋b×10＋c＝（a＋b＋c）×10×2＋（a＋b＋c）×2＝22×（a＋b＋c）的a、b、c.</p><p>上式为：100a＋10b＋c＝22a＋22b＋22c，也即：78a－12b－21c＝0</p><p>因为12×9＋21×9＝297，297÷78＜4，所以a仅可能为1、2、3，</p><p>如果a＝1，即78＝12b＋21c，c＝，c只需用1、2、3试验，经验证b＝3，c＝2符合条件；</p><p>如果a＝2，即156＝12b＋21c，c＝，经验证b＝6，c＝4，符合条件；</p><p>如果a＝3，即234＝12b＋21c，c＝，经验证b＝9，c＝6，符合条件.</p><p>所以，共有三个三位数满足条件，它们是：132，264，396.</p><p>5．【解】将1到18的平方列表：</p><p><table height="48" cellspacing="0" cellpadding="0" width="432" border="1"><tbody> <tr><td>x </td><td> 1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td> </tr> <tr><td>x<sup>2 </sup></td><td>1</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td><td>25</td><td>36</td><td>49</td><td>64</td><td>81</td><td>100</td><td>121</td><td>144</td><td>169</td><td>196</td><td>225</td><td>256</td><td>289</td><td>324</td> </tr></tbody></table>要想得到尽量多的数的平方和，尽量取较小的数，从12开始：</p><p>12+22+32+42+52+62+72+82+92+102＝385，已经大于360了，刚好比360大25＝52，</p><p>所以360最多可以表示为9个互不相等的非零自然2数的平方和，即：</p><p>360＝12+22+32+42+62+72+82+92+102</p><p>6．【解】设有n名小朋友，共传k圈（最后一名传k－1圈），中断时各人手中糖数为a. 先研究a的取值，0中断（最后一名手中无糖可传）时，ax＝2nk－2，ax-1＝0，a1＝2n－4；1中断（最后一名手中只有一块糖）时，ax＝2nk－1，ax-1＝1，a1＝2n－3.分六种情况讨论：</p><p>（1）0中断，ax∶ax-1＝13∶1，即＝，显然无解.</p><p>（2）0中断，ax∶a1＝13∶1，即＝=> 26n－52＝2nk－2 => n（13－k）＝25，</p><p>可得n＝25，k＝12（n＝5，k＝8舍去）</p><p>（3）0中断，a1∶ax＝13∶1，即＝=> 26nk－26＝2n－4 =>n（13k－1）＝11，无整数解.</p><p>（4）1中断，ax∶ax-1＝13∶1，即＝=> 2nk－1＝13 => nk＝7，</p><p>可得n＝7，k＝1（n＝1，k＝7舍去）</p><p>（5）1中断，ax∶a1＝13∶1，即＝=> 26n－39＝2nk－1 =>n（13－k）＝19，</p><p>可得n＝19，k＝12</p><p>（6）1中断，a1∶ax＝13∶1，即＝=> 26nk－13＝2n－3 =>n（13k－1）＝5，无整数解.</p><p>由以上分析可得，最多有25位小朋友.</p>
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