独家解析华杯试题：排列组合 标签：华杯赛
<p>排列组合问题在实际生活中的应用范围比较广，曾经作为高中的知识点，后来慢慢引入到初中课本，因此为了更好的与中学教材衔接，并且增强学生在实际生活中对数学的应用能力，排列组合问题在近三年的"华杯赛"试题中出现了7道之多，所占比例达到10.1%，特别是在第十二届的试题中就占到了4题。虽然对于排列组合问题我们有基本的加法和乘法公式，但是分析这7道题的解题方法，却多为分组列举和进行归纳，用到公式的情况极少。</p><p><strong>真题分析</strong></p><p>【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0~55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5。那么，可供每支球队选择的号码共有（C）个。</p><p>（A）34（B）35</p><p>（C）40（D）56</p><p><strong>分析</strong>：可以看出，试题的导向是要求学生将一件事情学会分情况讨论，逐段分析。</p><p>虽然上面一个题目比较简单，但是此类题的过程其实往往较长，粗心的学生容易遗漏某些可能性。</p><p>那么在处理此类问题的时候，我们通常遵循一下思路来逐步分析：</p><p>1、列举出满足题意的所有情况</p><p>2、对于每种情况判断是否还有子情况</p><p>3、当不能再细分的时候，我们利用加法原理或乘法原理将每一种最细的情况中的数目算出</p><p>4、写出所有情况的数量后，相加求出总和。</p><p><strong>真题训练</strong></p><p>1、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】将一个长和宽分别是2023厘米和423厘米的长方形分割成若干个正方形,则正方形最少是()个.</p><p>（A）8（B）7（C）5（D）6</p><p>2、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】将1分、2分、5分和1角的硬币投入19个盒子中，使每个盒子里都有硬币，且任何两个盒子里的硬币的钱数都不相同。问：至少需要投入多少硬币？这时，所有的盒子里的硬币的总钱数至少是多少？</p><p>3、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】若干支球队分成4组，每组至少两队，各组进行循环赛（组内每两队都要比赛一场），共比赛了66场。问：共有多少支球队？（写出所有可能的参赛队数）</p><p>4、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】</p><p>从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，则所有这样的乘积的总和是</p><p>5、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】如图所示，已知APBCD是以直线l为对称轴的图形，且∠APD＝116°，∠DPC＝40°，DC＞AB，那么，以A、P、B、C和D五个点为顶点的所有三角形中有个钝角三角形，有个锐角三角形.</p><p><strong>真题答案：</strong></p><p>1、【B】</p><p>这些分割的正方形不需要相同，可以有大有小，如果要至少，只要让一长方形尽可能大的分割。</p><p>2023÷423＝4….141</p><p>423÷141＝3</p><p>4+3＝7</p><p>2、【41（枚）、194（分）】</p><p>解：只取一枚有1分、2分、5分、10分（1角）4种；</p><p>取二枚有1＋1＝2（分），2＋2＝4（分），5＋5＝10（分），10＋10＝20（分）（2角），</p><p>1＋2＝3（分），1＋5＝6（分），1＋10＝11（分）（1角1分），</p><p>2＋5＝7（分），2＋10＝12（分）（1角2分），5＋10＝15（分）（1角5分），</p><p>共10种，其中重复2种（2分、10分），加上只取一枚的共12种不同币值；</p><p>取三枚时，可将以上取两枚的10种情况，分别加1分、2分、5分、10分，共有40种情况。从小到大取出7种不重复的币值为：8分、9分、13分、14分、16分、17分、21分，加上上述12种共19种。</p><p>公用硬币的枚数为：1×4＋2×8＋3×7＝41（枚）</p><p>总钱数为：1＋2＋3＋…＋17＋20＋21＝194（分）</p><p>3、【共有21、22、23、24、25五种情况】</p><p>解：列出一个组内参赛队数与比赛场数之间的关系，如下表：</p><p>因为，55加上3个表中所列的场数不能得到66，所以11个队的组不可能存在；</p><p>最多为10个队的组：45＋10＋10＋1＝66，45＋15＋3＋3＝66，有两种情况；</p><p>最多为9个队的组：36＋28＋1＋1＝66，36＋21＋6＋3，36＋10＋10＋10＝66，有三种情况；</p><p>最多为8个队的组不可能存在；</p><p>最多为7个队的组：21＋21＋21＋3＝66，21＋15＋15＋15＝66有两种情况；</p><p>最多为6个或6个以下队的组不可能存在。</p><p>以上可能的情况，总队数分别为：</p><p>10＋5＋5＋2＝22，10＋6＋3＋3＝22；</p><p>9＋8＋2＋2＝21，9＋7＋4＋3＝23，9＋5＋5＋5＝24；</p><p>7＋7＋7＋3＝24，7＋6＋6＋6＝25</p><p>即可能的球队数共有21、22、23、24、25五种情况。</p><p>4、【7.56】</p><p>解：设总和为S，则</p><p>＝0.9×（2.4＋4.8＋0.4＋0.8）</p><p>＝0.9×8.4＝7.56</p><p>5、【6个钝角三角形，4个锐角三角形】</p><p>解：＝10，以A、P、B、C、D五个点可以形成10个三角形，这10个三角形的内角中，</p><p>∠APD＝∠BPC＝116°＞90°，∠APC＝∠BPD＝116°＋40＝156＞90°</p><p>∵DC＞AB，故∠ADC与∠BCD为锐角，∠BAD与∠ABC为钝角，</p><p>∠APB＝360°－116°×2－40°＝88°＜90°，</p><p>其余均为锐角。</p><p>故有6个钝角三角形，4个锐角三角形.</p>
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