“希望杯”数学邀请赛培训题(四)及答案解析 标签：希望杯
<p><strong>二、解答题</strong></p><p><strong></strong>76．一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？</p><p>77．已知代数式，当时的值分别为1－，2，2，而且不等于0，问当时该代数式的值是多少？</p><p>78．如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？</p><p>79．有理数均不为0，且设试求代数式2023之值。</p><p>80．已知为整数，如果，请你证明：。</p><p><font color=#2023f7><strong>答案与提示</strong></font></p><p>76．设第1站到第7站上车的乘客依次为： 第2站到第8站下车和乘客依次为：</p><p>显然应有：＝</p><p>已知＝100，＝80，</p><p>代入 100＋ 即</p><p>这表明，从前6站上车而在终点站下车的乘客共20个。</p><p>77．将分别代入该代数式，得到</p><p>由此可得 将代入第一个和第三个等式中，得</p><p>∴； 进而得到</p><p>将和代入代数式中，得到＝</p><p>；再将代入，得即当时该代数式的值是</p><p>78．设甲的运动速度是乙的运动速度是，丙的运动速度是．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有－＝ ①</p><p>甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝②</p><p>②－①可得到－＝－＝ ③</p><p> ④</p><p>⑤</p><p>甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离</p><p>＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用时间＝</p><p>＝秒．所以第110秒时，乙追上丙．</p><p>79．由均不为0，知均不为0．又中不能全同号，故必一正二负或一负二正．于是</p><p>即所以中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．</p><p>∴ </p><p>因此， </p><p>80．已知又已知即存在整数，使得</p><p>所以由整除性质得 </p>
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