小升初数学比和比例关系2 标签：比和比例
<p><strong>8.2比的变化</strong></p><p>已知两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.</p><p>例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？</p><p>解一：甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.</p><p>5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.</p><p>5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.</p><p>甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20-15=5份.因此原来</p><p>甲得22.5÷5×20=90（分），</p><p>乙得 22.5÷5×16=72（分）.</p><p>答：原来甲得90分，乙得72分.</p><p>我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.</p><p>解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.</p><p>（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7</p><p>即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）</p><p>15x=12×22.5</p><p>x=18.</p><p>甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.</p><p>解：其他球的数量没有改变.</p><p>增加8个红球后，红球与其他球数量之比是</p><p>5∶（14-5）=5∶9.</p><p>在没有球增加时，红球与其他球数量之比是</p><p>1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.</p><p>因此8个红球是5-4.5=0.5（份）.</p><p>现在总球数是</p><p>答：现在共有球224个.</p><p>本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解：</p><p>（x+8）∶2x=5∶9.</p><p>例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？</p><p>解：我们采用“假设”方法求解.</p><p>如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有</p><p>240∶x=8∶5，x=150（元）.</p><p>实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出</p><p>答：张家收入720元，李家收入450元.</p><p>例14 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.</p><p>解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.</p><p>8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.</p><p>A数是17×8=136，B数是17×5=85.</p><p>答：A，B两数分别是136与85.</p><p>本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.</p><p>例15 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？</p><p>解：充分利用已知数据的特殊性.</p><p>4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，</p><p>新的1份=原来1份+1</p><p>原来4份，新的5份，5-4=1，因此</p><p>新的1份有15-1×4=11（张）.</p><p>小明原有图画纸11×5-15=40（张），</p><p>小强原有图画纸11×2+8=30（张）.</p><p>答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.</p><p>例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.</p><p>例16 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？</p><p>我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点</p><p>等需要时间是</p><p>答：这两支蜡烛点了3小时20分.</p><p>把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.</p><p>例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？</p><p>解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.</p><p>因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15）＝ 7（次）.</p><p>红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）.</p><p>白球有 7×7＋3＝52（只）.</p><p>原来红球比白球多 158-52＝106（只）.</p><p>答：箱子里原有红球数比白球数多106只.</p>
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