排序问题的最佳整理方法 标签：工程问题
<p>要把书架上的图书依序整理好是件繁琐的工作，因此图书馆管理员很想知道最有效率的做法。她发现将书按照顺序排列的最好方法就是每次调换两本书。也就是说，每次取下两本书，交换次序后再摆回书架。</p><p>她需要交换几次，才能将上图所示的整套百科全书排成202320239的次序？</p><p>如果书的次序是202320233，怎样做才是最有效率的？</p><p>请设计一套策略，不论百科全书的次序如何，都可以找出应该如何交换的最佳整理方法。</p><p><strong>解答与分析</strong></p><p>所需交换的次数，与书本次序的混乱程度有关，以下说明该如何系统地予以分析。首先，将书本要求的次序列在原有次序之上：</p><p>要求次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>原有次序 6 5 7 1 8 9 3 2 4</p><p>这样就可以清楚地看出3和7正好是在对方的位置，因此只要将两者调换，以(3 7)表示，就可以使它们各在其位。</p><p>其他的书就不是这样单纯的摆错位置。稍加观察，我们会发现：</p><p>6是在1的位置</p><p>1是在4的位置</p><p>4是在9的位置</p><p>9是在6的位置</p><p>因此这4本书只须彼此互换即可。它们的相对关系可以用(6 1 4 9)表示，最少需要3次交换，先是(4 9)，之后(1 4)，最后(6 1)。</p><p>同理，剩下的3本书的相对关系也可以用(5 2 8)表示，因为：</p><p>5是在2的位置</p><p>2是在8的位置</p><p>8是在5的位置</p><p>所以可以经过(2 8)之后再做(5 2)的交换，把书全都放回到正确位置。</p><p>因此，图上的百科全书可以经过以下的交换，恢复到正确的次序：</p><p>(3 7)(4 9)(1 4)(6 1)(2 8)(5 2)</p><p>这并不是唯一的答案，不过从原有的次序至少须经过6次交换才能完成整理工作。将同样的方法应用到第二种次序：</p><p>要求次序 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>原有次序 4 5 7 6 8 1 9 2 3</p><p>我们可以用</p><p>(4 1 6)(5 2 8)(7 3 9)</p><p>来描述原有次序的混乱程度。而这些相对关系可以经过下列的6次交换恢复到正确的次序：</p><p>(1 6)(4 1)(2 8)(5 2)(3 9)(7 3)</p><p>请找出需要几次交换才能把原有次序为2 3 5 9 4 1 8 6 7的书整理好。</p>
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