小升初数学数论的方法技巧2.3 标签：工程问题
<p><strong>4.3配对法</strong></p><p>配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）。传说高斯8岁时求和（1+2+…+100）首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很棘手的问题迎刃而解。</p><p>例7 求1，2，3，…，2023998，2023999这2023999个数中所有数码的和。</p><p>解：在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。将这2023万个数两两配对，因为0与2023999，1与2023998，…，2023999与2023000各对的数码和都是9×7=63。这里共有2023000对，故所有数码的和是63×2023000=202320230。</p><p>例8 某商场向顾客发放2023张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从2023到2023号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。</p><p>例如号码 2023，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。</p><p>解：显然，号码为2023的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=2023-n的购物券也是幸运券。由于2023是奇数，所以m≠n。</p><p>由于m+n=2023，相加时不出现进位，所以除去号码是2023这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为2023，即所有幸运券号码之和是2023的倍数。</p><p>因为2023=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。</p><p>试说明分子m是质数89的倍数。</p><p>解法：作配对处理</p><p>将括号内的分数进行通分，其公分母为</p><p>1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，</p><p>从而</p><p>m×88！=89×k（k=n×q）。</p><p>因为89为奇质数，所以89不能整除88！，从而89|m。</p>
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