小升初数学工程问题1 标签:工程问题
<p><strong>第七讲 工程问题</strong></p><p>在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是</p><p>工作量=工作效率×时间.</p><p>在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”.</p><p>举一个简单例子.</p><p>一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?</p><p>一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位</p><p>所需时间=工作量÷工作效率=6(天)</p><p>两人合作需要6天.</p><p>这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.</p><p>为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),如第三讲例3和例8所用方法,把工作量多设份额.还是上题,10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份.两人合作所需天数是</p><p>30÷(3+ 2)= 6(天)</p><p>因此,在下面例题的讲述中,不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法,而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我们的解题思路更灵活一些.</p><p>7.1两个人的问题</p><p>标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体.</p><p>例1 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?</p><p>答:乙需要做4天可完成全部工作.</p><p>解二:9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是</p><p>(18- 2 × 3)÷ 3= 4(天).</p><p>解三:甲与乙的工作效率之比是</p><p>6∶ 9= 2∶ 3.</p><p>甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天).</p><p>例2 一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?</p><p>解:共做了6天后,</p><p>原来,甲做 24天,乙做 24天,</p><p>现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天.</p><p>这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率</p><p>答:甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.</p><p>例3 某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?</p><p>解:先对比如下:</p><p>甲做63天,乙做28天;</p><p>甲做48天,乙做48天.</p><p>就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出甲的</p><p>甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21(天),相当于乙要做</p><p>因此,乙还要做</p><p>28+28= 56 (天).</p><p>答:乙还需要做 56天.</p><p>例4 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息).问开始到完工共用了多少天时间?</p><p>解一:甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量</p><p>余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是</p><p>2+8+ 1= 11(天).</p><p>答:从开始到完工共用了11天.</p><p>解二:设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作</p><p>(30- 3 × 8- 1× 2)÷(3+1)= 1(天).</p><p>解三:甲队做1天相当于乙队做3天.</p><p>在甲队单独做 8天后,还余下(甲队) 10-8= 2(天)工作量.相当于乙队要做2×3=6(天).乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量.</p><p>4=3+1,</p><p>其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天.</p><p>例5 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?</p><p>解一:如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是</p><p>由于两队休息期间未做的工作量是</p><p>乙队休息期间未做的工作量是</p><p>乙队休息的天数是</p><p>答:乙队休息了5天半.</p><p>解二:设全部工作量为60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份.</p><p>两队休息期间未做的工作量是</p><p>(3+2)×16- 60= 20(份).</p><p>因此乙休息天数是</p><p>(20- 3 × 3)÷ 2= 5.5(天).</p><p>解三:甲队做2天,相当于乙队做3天.</p><p>甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.</p><p>如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数是</p><p>16-6-4.5=5.5(天).</p><p>例6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?</p><p>解:很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲,张先做乙.</p><p>设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份.</p><p>8天,李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(60-4×8)份.由张、李合作需要</p><p>(60-4×8)÷(4+3)=4(天).</p><p>8+4=12(天).</p><p>答:这两项工作都完成最少需要12天.</p><p>例7 一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合作,他要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天?</p><p>解:设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份.</p><p>两人合作,共完成</p><p>3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2(份).</p><p>因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是</p><p>(30-3×8)÷(4.2-3)=5(天).</p><p>很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题.</p>
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