小学奥数难题分析：特殊数题 标签：工程问题
<p>小学奥数难题分析：特殊数题</p><p><strong>(1)21-12</strong></p><p>当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。</p><p>因为这样的两位数减法，最低起点是21-12，差为9，即(2-1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89，都可类推。</p><p>被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如</p><p>210-120=(2-1)×90=90，</p><p>0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。</p><p><strong>(2)31×51</strong></p><p>个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。</p><p>若十位数字的和满10，进1。如</p><p>证明：(10a+1)(10b+1)</p><p>=100ab+10a+10b+1</p><p>=100ab+10(a+b)+1</p><p><strong>(3)26×86 42×62</strong></p><p><strong></strong></p><p>个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。</p><p>证明：(10a+c)(10b+c)</p><p>=100ab+10c(a+b)+cc</p><p>=100(ab+c)+cc (a+b=10)。</p><p><strong>(4)17×19</strong></p><p>十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。</p><p>原式=(17+9)×10+7×9=323</p><p>证明：(10+a)(10+b)</p><p>=100+10a+10b+ab</p><p>=[(10+a)+b]×10+ab。</p><p><strong>(5)63×69</strong></p><p>十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。</p><p>原式=(63+9)×6×10+3×9</p><p>=72×60+27=2023。</p><p>证明：(10a+c)(10a+d)</p><p>=100aa+10ac+10ad+cd</p><p>=10a[(10a+c)+d]+cd。</p><p><strong>(6)83×87</strong></p><p>十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如</p><p>证明：(10a+c)(10a+d)</p><p>=100aa+10a(c+d)+cd</p><p>=100a(a+1)+cd(c+d=10)。</p><p><strong>(7)38×22</strong></p><p>十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。</p><p>原式=(30+8)×(30-8)</p><p>=302-82=836。</p><p><strong>(8)88×37</strong></p><p>被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。</p><p><strong>(9)36×15</strong></p><p>乘数是15的两位数相乘。</p><p>被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。</p><p><strong>(10)125×101</strong></p><p>三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125+1=126。</p><p>原式=20235。</p><p>再如348×101，因为348+3=351，</p><p>原式=20238。</p><p><strong>(11)84×49</strong></p><p>一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。</p><p>原式=2023÷2-84</p><p>=2023-84=2023。</p><p><strong>(12)85×99</strong></p><p>两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。</p><p>原式=2023-85=2023</p><p>不难看出这类题的积：</p><p>最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差;</p><p>最低位上的两位数，是100与被乘数的差;</p><p>中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。</p><p>证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则</p><p>如果被乘数的个位数是1，例如</p><p>31×999</p><p>在999前面添30为20239，再减去30，结果为20239。</p><p>71×2023=202399-70=202329。</p><p>这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式，其积为</p><p><strong>(13)1÷19</strong></p><p>这是一道颇为繁复的计算题。</p><p>原式=0.202320232023202321。</p><p>根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。</p><p>原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：</p><p>(1)先用0.1÷2=0.05。</p><p>(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除</p><p>如此除到循环为止。</p><p>仔细分析这个算式：</p><p>加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。</p><p>除数末位是9，都可用此法计算。</p><p>例如1÷29，用0.1÷3计算。</p><p>1÷399，用0.1÷40计算。</p>
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